[論文レビュー] Steering, Entanglement, Nonlocality, and the EPR Paradox

Howard M. Wiseman, S. J. Jones+1 more|CERN Bulletin|Dec 18, 2006

Quantum Information and Cryptography被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、もつれとベル非局所性の間の中間的非局所的資源として、量子スティアリングの最初の厳密な操作的定義を提供する。これは、もつれ状態の真の部分集合であり、ベル非局所状態の真の超集合であるスティアブル状態が形成されることを証明し、ガウス型状態におけるスティアブル性を特定する線形行列不等式（LMI）を導出し、元々のEPRパラドックスと関連付ける。

ABSTRACT

The concept of steering was introduced by Schrodinger in 1935 as a generalization of the EPR paradox for arbitrary pure bipartite entangled states and arbitrary measurements by one party. Until now, it has never been rigorously defined, so it has not been known (for example) what mixed states are steerable (that is, can be used to exhibit steering). We provide an operational definition, from which we prove (by considering Werner states and Isotropic states) that steerable states are a strict subset of the entangled states, and a strict superset of the states that can exhibit Bell-nonlocality. For arbitrary bipartite Gaussian states we derive a linear matrix inequality that decides the question of steerability via Gaussian measurements, and we relate this to the original EPR paradox.

研究の動機と目的

• タスクベースの枠組みに基づき、長年の曖昧さを解消する、量子スティアリングの厳密で操作的な定義を提供すること。
• もつれ、スティアブル性、ベル非局所性の関係を明確にし、これらの量子非局所的資源の間の厳密な階層を確立すること。
• 混合量子状態（特にヴェーナー状態と等方的状態）がスティアブル性を示す条件を特定すること。
• ガウス測定を用いた任意の二粒子ガウス状態におけるスティアブル性の基準を導出し、EPRパラドックスと関連付けること。
• 量子情報におけるスティアブル性の基礎的・実用的意味、特に量子測定やプロトコルへの応用可能性を検討すること。

提案手法

• スティアブル性を操作的に定義する：アリスが、ボブが量子力学を信頼するがアリスを信頼しないという仮定の下で、古典的通信と自身の測定選択肢のみを用いて、共有状態がもつれ状態であることをボブに納得させることを目的とするタスクとして定式化する。
• スティアブル性の条件を数学的に、ボブの条件付き状態の集合を局所的隠れ状態（LHS）モデルで記述できないこととして定式化する。
• 正の作用素値測定（POVM）とガウス状態の凸結合の形式的枠組みを用いて、非スティアブル状態の集合を特徴付ける。
• ガウス状態における線形行列不等式（LMI）条件を導出する：状態がガウス測定によってスティアブルではないことは、$ V_{eta} + i rac{ ext{Tr}[ ho]}{2} ext{Id} $ が半正定値であること、またはより正確には $ V_{eta} + oldsymbol{0}_eta igoplus i rac{ ext{Tr}[ ho]}{2} ext{Id} $ が半正定値であることと同値であり、これはEPR基準を一般化する。
• 2量子ビットのヴェーナー状態と等方的状態にこの手法を適用し、条件付き状態の忠実度を計算し、調和級数と最適測定戦略から導かれた境界と比較する。
• 行列の逆行列恒等式とシンプレクティック幾何学を用いて、ガウス状態の共分散行列構造を分析し、スティアブル性の必要十分条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべてのもつれ状態がスティアブル性を示せるのか、それとももつれ状態の中にもスティアブルでないものがあるのか？
• RQ2 スティアブル性はベル非局所性よりも厳密に弱いか？ もしそうなら、ベル不等式を破らない状態を用いてスティアブル性を示せるか？
• RQ3 ガウス測定下での連続変数ガウス状態におけるスティアブル性の明確な数学的基準は何か？
• RQ4 EPRパラドックスはスティアブル性のより広い概念とどのように関係し、特殊ケースとして回復できるか？
• RQ5 ベル非局所でないがスティアブルな量子状態は存在するのか？ もし存在するなら、その構造と物理的意味は何か？

主な発見

• スティアブル性は独立した非局所的資源である：スティアブル状態はもつれ状態の真の部分集合であり、ベル非局所状態の真の超集合である。
• 2量子ビットのヴェーナー状態では、$ heta > heta_{ ext{steer}} $ のときスティアブル性が成立し、$ heta_{ ext{steer}} $ はヒルベルト＝シュミットノルムを含む超越方程式の解として定まる。
• 等方的状態では、スティアブル性の閾値は $ heta_{ ext{steer}} = rac{H_d - 1}{d - 1} $ であり、ここで $ H_d $ は $ d $ 番目の調和数であり、この境界は最適測定戦略によって達成される。
• EPRパラドックスはスティアブル性の特殊ケースとして回復される：積の条件付き分散 $ V(q|q) V(p|p) < 1 $ の違反は、ガウス状態における非スティアブル性のLMI条件の違反に正確に一致する。
• ガウス状態では、ガウス測定によるスティアブル性はLMI $ V_{eta} + oldsymbol{0}_eta igoplus i rac{ ext{Tr}[ ho]}{2} ext{Id} ot ightarrow ext{positive semi-definite} $ によって決定され、これはEPR基準と同値である。
• 本稿は、スティアブル性が非対称であることを確立している：アリスがボブをスティアブルにできるが、逆はできないような非対称状態が存在し、これはこの資源の方向性を示している。