[論文レビュー] Stein operators for product distributions

Robert E. Gaunt, Guillaume Mijoule+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2016

Random Matrices and Applications被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、独立した確率変数の積として構成される分布（製品分布）に対して、多項式係数を有するk次Stein作用素を構築する、新しい柔軟な技法を提案する。この手法は、正規分布、ベータ分布、分散ガンマ分布、一般化ガンマ分布など広範な分布に適用可能であり、密度関数の明示的表現がなくても作用素を直接導出可能であり、k個の独立した対称分散ガンマ分布に従う確率変数の積の密度関数についても、新しい閉形式の公式を導出する。

ABSTRACT

We build upon recent advances on the distributional aspect of Stein's method to propose a novel and flexible technique for computing Stein operators for random variables that can be written as products of independent random variables. We show that our results are valid for a wide class of distributions including normal, beta, variance-gamma, generalized gamma and many more. Our operators are $k$th degree differential operators with polynomial coefficients; they are straightforward to obtain even when the target density bears no explicit handle. As an application, we derive a new formula for the density of the product of $k$ independent symmetric variance-gamma distributed random variables.

研究の動機と目的

• 独立した確率変数の製品分布のStein作用素を計算するための一般的で柔軟なフレームワークの構築を目的とする。
• 目的密度関数が明示的に得られないような複雑な製品分布に対しても、Stein法の適用範囲を拡大することを目的とする。
• 正規分布、ベータ分布、分散ガンマ分布、一般化ガンマ分布など広範な分布クラスにおいて、Stein作用素の構築を統一的に扱うことを目的とする。
• k個の独立した対称分散ガンマ分布に従う確率変数の積の密度関数に関する、新たな解析的結果の導出を可能とすることを目的とする。

提案手法

• Stein法の分布的側面における最近の進展を活用し、製品分布に対して体系的なアプローチを設計する。
• 独立した確率変数の積の対象分布を特徴付ける、多項式係数を有するk次微分作用素を構築する。
• 目的密度関数の明示的表現を必要とせず、元となる分布の構造的性質に基づいて作用素を導出する。
• このフレームワークを用いて、k個の独立した対称分散ガンマ分布に従う確率変数の積の密度関数について、新しい閉形式の式を得る。
• 成分変数の特性関数またはモーメント母関数の代数的・解析的性質に依存することで、手法の柔軟性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 目的密度関数が明示的に与えられていない場合に、製品分布に対してStein作用素を体系的かつ一貫して導出する方法は何か？
• RQ2 どのような分布クラスが、製品設定下で多項式係数を有するk次微分Stein作用素を許容するか？
• RQ3 提案手法によって、独立した確率変数の積の密度関数に関する新たな解析的結果が得られるか？
• RQ4 このフレームワークは、分散ガンマ分布、一般化ガンマ分布、ベータ分布といった代表的な分布に、どの程度まで適用可能か？

主な発見

• 提案手法は、広範な製品分布クラスに対して、多項式係数を有するk次微分Stein作用素を効果的に生成する。
• 正規分布、ベータ分布、分散ガンマ分布、一般化ガンマ分布など、目的密度関数が明示的に得られない場合でも、このフレームワークが適用可能である。
• 本手法により、k個の独立した対称分散ガンマ分布に従う確率変数の積の確率密度関数について、新しい閉形式の公式が導出可能である。
• 得られるStein作用素は、成分分布の構造的性質にのみ依存するため、計算が容易に実行可能である。