[論文レビュー] Stein's method for asymmetric $α$-stable distributions, with application to the stable CLT

Peng Chen, Ivan Nourdin+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Random Matrices and Applications参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、1次元における非対称 $\alpha$-安定分布に対して、分数階型生成子作用素を導入する新しいSteinの方法を開発する。この作用素は、$\beta = 0$ のとき分数ラプラシアンに簡約され、$\alpha$-安定分布による近似に関する Wasserstein 距離の上限を確立する。この結果、古典的な正規吸引領域外の分布、たとえば漸近的変動する尾部を持つパレート型分布ですらも含めた、安定中心極限定理における明示的な誤差率を導出可能となる。

ABSTRACT

This paper is concerned with the Stein's method associated with a (possibly) asymmetric $α$-stable distribution $Z$, in dimension one. More precisely, its goal is twofold. In the first part, we exhibit a genuine bound for the Wasserstein distance between $Z$ and any integrable random variable $X$, in terms of an operator that reduces to the classical fractional Laplacian in the symmetric case. Then, in the second part we apply the aforementioned bound to compute error rates in the stable central limit theorem, when the entries are in the domain $\mathcal{D}_α$ of normal attraction of a stable law of exponent $α$. To conclude, we study the specific case where the entries are Pareto like multiplied by a slowly varying function, which provides an example of random variables that do not belong to $\mathcal{D}_α$, but for which our approach continues to apply.

研究の動機と目的

• 非対称 $\alpha$-安定分布（$\alpha \in (1,2)$）に対してSteinの方法を拡張すること。過去の研究は対称の場合に限られていた。
• 生成子作用素 $\mathcal{L}^{\alpha,\beta}$ を新たに開発し、$\beta = 0$ のとき分数ラプラシアンに還元されるようにすること。これにより近似の上限を得られる。
• 任意の可積分確率変数 $X$ と $Z \sim S_{\alpha}(1,\beta)$ の間の定量的 Wasserstein 距離の上限を、1つずつ項を除く手法（leave-one-out）を用いて確立すること。
• この上限を安定中心極限定理（stable CLT）に適用し、和項が正規吸引領域 $\mathcal{D}_{\alpha}$ に属する場合の明示的な誤差率を計算すること。
• $\mathcal{D}_{\alpha}$ の外側に拡張するため、漸近的変動する尾部を持つパレート型分布を分析し、古典的条件が満たされない場合でも本手法が有効であることを示すこと。

提案手法

• 非対称性パラメータ $\beta$ を含む特異積分を用いて定義される、新しい生成子作用素 $\mathcal{L}^{\alpha,\beta}$ を導入。これは分数ラプラシアンを一般化する。
• 不等式 $d_W(\mathcal{L}(X), \mathcal{L}(Z)) \leq \sup \left| \mathbb{E}[(\mathcal{L}^{\alpha,\beta}\phi)(X)] - \frac{1}{\alpha}\mathbb{E}[X\phi'(X)] \right|$ を用いて Wasserstein 距離の上限を導出。ここで $\phi$ は1リプシッツかつ有界な2次微分を持つ関数。
• 和 $S_n$ と1つの項を除いた条件付きバージョン $\widetilde{S}_{n,i}$ を比較することで、安定CLTにおける誤差を制御するためのleave-one-out技法を適用。
• 重尾の増分を扱うために、$\gamma_n = \log n$ を用いた切断と対数スケーリングの手法を導入。これにより尾部寄与の制御が可能になる。
• 生成子項との差の分解を用い、$\mathbb{E}[X_i \phi'(\widetilde{S}_{n,i} + aX_i)]$ と生成子項との差を積分表現と $\phi'$, $\phi''$ の $L^\infty$ ノルムを用いて評価。
• 生成子近似の推定とleave-one-out補正の推定を組み合わせ、Wasserstein 距離の最終的な収束率 $O((\log n)^{-1})$ を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Steinの方法は、$\alpha \in (1,2)$ の非対称 $\alpha$-安定分布へ、対称の場合に限らず拡張可能か？
• RQ2 非対称 $\alpha$-安定分布を特徴付ける適切な生成子作用素 $\mathcal{L}^{\alpha,\beta}$ は何か？特に $\beta = 0$ のとき分数ラプラシアンに還元されるようにする必要がある。
• RQ3 この新しい生成子に基づくSteinの方法を用いて、安定中心極限定理における明示的な誤差率を導出可能か？
• RQ4 古典的正規吸引領域 $\mathcal{D}_{\alpha}$ の外にある分布、たとえば漸近的変動する尾部を持つ分布に対しても、本手法は有効か？
• RQ5 この枠組み下で、i.i.d. の重尾確率変数の和のWasserstein距離における収束の最適レートは何か？

主な発見

• 非対称 $\alpha$-安定分布のための新しい生成子作用素 $\mathcal{L}^{\alpha,\beta}$ が構成され、$\beta = 0$ のとき分数ラプラシアンに還元される。
• Wasserstein 距離の上限が確立された：$d_W(\mathcal{L}(X), \mathcal{L}(Z)) \leq \sup \left| \mathbb{E}[(\mathcal{L}^{\alpha,\beta}\phi)(X)] - \frac{1}{\alpha}\mathbb{E}[X\phi'(X)] \right|$。この不等式はすべての可積分な $X$ に対して成り立つ。
• i.i.d. 確率変数の和 $S_n$ が $\mathcal{D}_{\alpha}$ に属する場合、本手法により $d_W(\widetilde{S}_n, S\alpha S(1)) = O((\log n)^{-1})$ の誤差率が得られる。
• 本手法は $\mathcal{D}_{\alpha}$ の外側にも適用可能である。漸近的変動する尾部を持つパレート型分布に対しても、同様に $O((\log n)^{-1})$ の収束率が達成される。
• 誤差境界は1つずつ項を除く手法を用いて導出され、主要な推定は $\phi'$ および $\phi''$ の $L^\infty$ ノルムと、切断閾値の対数スケーリングに依存する。
• 最終的な収束率 $O((\log n)^{-1})$ は、与えられた仮定のもとで鋭いことが示され、この設定では古典的なフーリエ解析的境界を上回る。