[論文レビュー] Stein's method for dependent random variables occurring in Statistical Mechanics

Peter Eichelsbacher, Matthias Löwe|ArXiv.org|Aug 13, 2009

Random Matrices and Applications参考文献 11被引用数 10

ひとこと要約

本稿は、統計力学におけるCurie-Weissモデルにおける従属確率変数の部分和について、交換可能な対を用いたSteinの方法を発展させ、非ガウス型極限分布への収束に対する最適なBerry-Esseen評価を確立する。密度が $\exp(-\mu|x|^{2k}/(2k)!)$ に比例する非ガウス型極限分布への収束レートを示し、臨界温度 $\beta_c = 1$ における中心極限定理の成立にかかわらず、最適な $O(n^{-1/2})$ レートを達成する。

ABSTRACT

We obtain rates of convergence in limit theorems of partial sums $S_n$ for certain sequences of dependent, identically distributed random variables, which arise naturally in statistical mechanics, in particular, in the context of the Curie-Weiss models. Under appropriate assumptions there exists a real number $α$, a positive real number $μ$, and a positive integer $k$ such that $(S_n- n α)/n^{1 - 1/2k}$ converges weakly to a random variable with density proportional to $\exp(-μ|x|^{2k} /(2k)!)$. We develop Stein's method for exchangeable pairs for a rich class of distributional approximations including the Gaussian distributions as well as the non-Gaussian limit distributions with density proportional to $\exp(-μ|x|^{2k} /(2k)!)$. Our results include the optimal Berry-Esseen rate in the Central Limit Theorem for the total magnetization in the classical Curie-Weiss model, for high temperatures as well as at the critical temperature $β_c=1$, where the Central Limit Theorem fails. Moreover, we analyze Berry-Esseen bounds as the temperature $1/ β_n$ converges to one and obtain a threshold for the speed of this convergence. Single spin distributions satisfying the Griffiths-Hurst-Sherman (GHS) inequality like models of liquid helium or continuous Curie-Weiss models are considered.

研究の動機と目的

• 統計力学に現れる非ガウス型極限分布に対して、交換可能な対を用いたSteinの方法を拡張すること。
• Curie-Weissモデルにおける従属かつ同一分布に従う確率変数の部分和の収束レートを鋭く確立すること。
• 逆温度 $\beta_n \to 1$、すなわち臨界温度に近づく際の収束レートの振る舞いを分析すること。
• Griffiths-Hurst-Sherman (GHS) 不等式を満たすモデルに対して、Berry-Esseen評価の厳密な枠組みを提供すること。
• 全スピン磁化の中心極限定理における最適収束レートを導出すること、特に標準的なCLTが成立しない臨界定常状態においても同様である。

提案手法

• 密度が $\exp(-\mu|x|^{2k}/(2k)!)$ に比例する非ガウス型のターゲット分布のクラスに、交換可能な対を用いたSteinの方法を適応する。
• 密度 $p(x) \propto \exp(-a_k V(x))$ を持つ分布に対して、Steinの恒等式とStein方程式の解法を用いる。ここで $V(x) = |x|^{2k}$ である。
• 部分積分とモーメント推定を用いて、Stein方程式の解 $f_h$ に対する境界を確立し、方法の正則性条件を満たす。
• スピンが $P_{n,\beta,h}$ に従うCurie-Weissモデルに適用し、全磁化 $S_n$ が主要な和であることを考慮する。
• Gibbsサンプリングまたは局所移動ダイナミクスを用いて構築された交換可能な対 $(X,Y)$ に対して、$\mathbb{E}|f_h(X) - f_h(Y)|$ の境界を導出する。
• GHS不等式を用いて、ポテンシャル関数 $V(x)$ の必要な凸性および対称性を保証し、モーメントおよび尾部推定を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 臨界温度 $\beta_c = 1$ におけるCurie-Weissモデルの全磁化の中心極限定理における最適収束レートは何か？
• RQ2 逆温度 $\beta_n \to 1$ が上側または下側から近づく際、収束レートはどのように変化するか？
• RQ3 重い尾を伴う、あるいは高次多項式的尾を持つような非ガウス型極限分布、例えば $\exp(-\mu|x|^{2k}/(2k)!)$ に対して、Steinの方法を拡張可能か？
• RQ4 平均場モデルにおける従属確率変数に対して、古典的中心極限定理が破綻する条件は何か？
• RQ5 Curie-Weissモデルにおいて、従属列に対するSteinの方法を可能にする交換可能な対をどのように構築できるか？

主な発見

• 本稿は、臨界温度 $\beta_c = 1$ におけるCurie-Weissモデルの全磁化に対して、最適なBerry-Esseenレート $O(n^{-1/2})$ を確立した。このとき、古典的CLTは成立しない。
• $k \geq 2$ の場合、正規化された和 $(S_n - n\alpha)/n^{1-1/2k}$ は、密度が $\exp(-\mu|x|^{2k}/(2k)!)$ に比例する非ガウス型極限分布に弱収束し、収束レートは $O(n^{-1/2k})$ である。
• 与えられた従属構造のもとで、より速いレートは不可能であるという意味で、収束レートが最適であることが示された。
• $\beta_n \to 1$ のとき、非ガウス型極限への収束レートは、$\beta_n$ が1に近づく速度に依存する閾値によって制御され、$\beta_n$ が1より上方から近づくに従い、レートが劣化することが分かった。
• 本手法は、連続的Curie-Weissモデルや液体ヘリウムモデルを含む、GHS不等式を満たすモデルに適用可能であり、ポテンシャル関数の必要な凸性および対称性を保証する。
• 非ガウス型ターゲット分布に対するStein方程式の解 $f_h$ は、$f_h$、$f_h'$、$f_h''$ について一様有界であることが示され、これはStein法における誤差を抑えるために不可欠である。