[論文レビュー] Stein's method for the half-normal distribution with applications to limit theorems related to the simple symmetric random walk

Christian Döbler|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2013

Random Matrices and Applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、半正規分布に対するスティーンの方法を構築し、単純な左右対称ランダムウォークに関連する3つの極限定理—最大値、原点への帰還回数、符号変化回数—に対して、明示的で最適な収束速度 $ n^{-1/2} $ を得る応用を行う。ゴールドスタインとライナーの最近の技術を用いて、半正規分布のスティーン作用素と離散的近似分布を比較することで、コモゴロフ距離およびワサーライン距離の両方において明示的定数を伴うきつい誤差バインディングを確立する。

ABSTRACT

We develop Stein's method for the half-normal distribution and apply it to derive rates of convergence in distributional limit theorems for three statistics of the simple symmetric random walk: the maximum value, the number of returns to the origin and the number of sign changes up to a given time $n$. We obtain explicit error bounds with the optimal rate $n^{-1/2}$ for both the Kolmogorov and the Wasserstein metric. In order to apply Stein's method, we compare the characterizing operator of the limiting half-normal distribution with suitable characterizations of the discrete approximating distributions, exploiting a recent technique by Goldstein and Reinert \cite{GolRei13}.

研究の動機と目的

• スティーンの枠組みにおいて標準的特徴付けを欠く半正規分布に対するスティーンの方法の開発。
• 本手法を用いて、単純な左右対称ランダムウォークの3つの主要統計量（最大値、原点への帰還回数、符号変化回数）の定量的収束速度を導出すること。
• コモゴロフ距離およびワサーライン距離の両方において、明示的かつ計算可能な定数を伴う最適な $ n^{-1/2} $ 収束速度を達成すること。
• ゴールドスタインとライナー（2013）の最近の特徴付け技術を活用して、連続的極限分布に収束する離散的分布へのスティーンの方法の適用範囲を拡張すること。

提案手法

• 標準正規変数 $ Z \sim N(0,1) $ を用い、$ Y = |Z| $ とすることにより、密度アプローチに基づいた半正規分布のスティーン特徴付けを導出する。
• 半正規分布の特徴付け作用素を用い、スティーン方程式フレームワークを通じて離散的近似分布と比較する。
• 最近のゴールドスタインとライナー（2013）の技術を適用し、極限分布のスティーン作用素と離散的分布の生成子を比較可能にする。
• 半正規分布のスティーン方程式の解に対する明示的バインディングを導出し、先行研究の一般的バインディングを改善する。
• テスト関数としてリプシッツ関数および指示関数 $ 1_{(-\infty,z]} $ を用い、ワサーライン距離およびコモゴロフ距離をそれぞれ評価する。
• 離散的統計量（例：帰還回数、最大値）の確率質量関数の明示的公式を用い、スティーンフレームワーク内での取り扱いやすいバインディングを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的スティーン作用素を欠く半正規分布に対して、スティーンの方法が効果的に適応可能か？
• RQ2 単純な左右対称ランダムウォークにおける最大値、原点への帰還回数、符号変化回数が半正規分布に収束する明示的収束速度は何か？
• RQ3 コモゴロフ距離およびワサーライン距離の両方において、最適な $ n^{-1/2} $ 収束速度が達成可能で、明示的に定量化可能か？
• RQ4 ゴールドスタインとライナー（2013）の技術をどのように活用し、離散的分布と連続的極限分布をスティーンの方法で比較可能にするか？

主な発見

• 正規化された最大値 $ M_n / \sqrt{n} $ について、ワサーライン距離において $ \left(3 + \frac{2}{\pi}\right)/\sqrt{n} $ のバインディングを有する $ n^{-1/2} $ 収束速度を確立した。
• 正規化された原点への帰還回数 $ K_n / \sqrt{n} $ については、ワサーライン距離が $ \left(\frac{2}{\pi} + 2\right)/\sqrt{n} + \sqrt{2/\pi}/n $ で抑えられることを示した。
• コモゴロフ距離に関しては、$ M_n / \sqrt{n} $ のバインディングが $ \left(4\sqrt{2/\pi} + \frac{1}{2}\right)/\sqrt{n} + \frac{2}{n} $ であり、最適な $ n^{-1/2} $ 速度を達成した。
• 符号変化回数 $ C_n / \sqrt{n} $ のバインディングも同様に $ n^{-1/2} $ 速度を有するが、提供されたテキストでは正確な式が途切れている。
• 誤差バインディングに明示的定数を提供しており、それまでの研究が定数を提示せず単に収束速度のみを示したのを改善した。
• 半正規分布のスティーン方程式の解について、$ \|f_z\| \leq \frac{1}{2} $ および $ \|f_z'\| \leq 1 $ が成り立つことが示され、これが最終的な誤差バインディングを導出する上で重要な役割を果たした。