[論文レビュー] Steinberg presentations of black box classical groups in small characteristics

Alexandre Borovik, Şükrü Yalçınkaya|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2013

Finite Group Theory Research参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、奇数の小さな特性を持つブラックボックス古典的リー型群に対して、Steinberg生成子を構築する新しいモンテカルロアルゴリズムを提示する。このアルゴリズムは、log q に関して多項式時間、p に関しては二次関数的時間の計算量を達成し、従来のランダムサーチ手法に比べて顕著に改善されている。この手法により、PSL_n(q) や q ≡ 1 mod 4 を満たす有限体上の古典的群の効率的同定が可能になる。

ABSTRACT

The main component of (constructive) recognition algorithms for black box groups of Lie type in computational group theory is the construction of unipotent elements. In the existing algorithms unipotent elements are found by random search and therefore the running time of these algorithms is polynomial in the underlying field size $q$ which makes them unfeasible for most practical applications \cite{guralnick01.169}. Meanwhile, the input size of recognition algorithms involves only $\log q$. The present paper introduces a new approach to construction of unipotent elements in which the running time of the algorithm is quadratic in characteristic $p$ of the underlying field and is polynomial in $\log q$; for small values of $p$ (which make a vast and practically important class of problems), the complexity of these algorithms is polynomial in the input size. For $\psl_2(q)$, $\qpone$, we present a Monte-Carlo algorithm which constructs a root subgroup $U$, the maximal torus $T$ normalizing $U$ and a Weyl group element $w$ which conjugates $U$ to its opposite. Moreover, we extend this result and construct Steinberg generators for the black box untwisted classical groups defined over a field of odd size $q=p^k$ where $\qpone$. Our algorithms run in time quadratic in characteristic $p$ of the underlying field and polynomial in $\log q$ and the Lie rank $n$ of the group. The case $\qmone$ requires the use of additional tools and is treated separately in our next paper \cite{suko12B}. Further, and much stronger results can be found in \cite{suko12E,suko12F}.

研究の動機と目的

• 体のサイズ q に比例してスケーリングする既存の認識アルゴリズムの非効率性、特に単位的要素のランダムサーチに依存する点を克服すること。
• 奇数の特性 p を持つ有限体上のブラックボックス古典的群に対して、決定的かつ効率的な Steinberg 生成子の構築アルゴリズムを開発すること。
• 実行時間の複雑度を log q に関して多項式的、p に関しては二次関数的とし、q が大きい場合の実用的応用が可能になるようにすること。
• q ≡ 1 mod 4 を満たす体上の非-twisted 古典的群（A, B, C, D 型）へこの手法を拡張すること。
• 今後のアルゴリズム群が群の完全な構造と同型型を回復する基盤を築くこと。

提案手法

• ブラックボックス部分群から、Curtis-Tits 定理を用いて拡張された Curtis-Tits 構成 {K₀, K₁, ..., Kₙ} を構築する。
• 既存のアルゴリズムを用いて体のサイズ q を計算し、各 Kᵢ 内に極大にスプリットしたトーラス T₀, T₁, ..., Tₙ を構築する。
• PSL₂(q) 専用のアルゴリズムを適用し、単位的要素 u、最大トーラス S、S を反転する Weyl 群要素 w を構築する。
• z ∈ K₁ を用いた確率的共軛作用により、トーラス T と T₁ を一致させ、群全体にわたる一貫性のあるルート部分群の整合性を実現する。
• 特に Bₙ, Cₙ, Dₙ 型に対して、対称性と整合性の確認を用いて、K₀, K₂, ..., Kₙ のすべてのルート部分群に対する単位的要素の構築を拡張する。
• 補題 3.5 と系 7.2 を用いたルート部分群の再構築により、必要なすべての単位的要素が生成されることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体サイズ q に依存するランダムサーチに頼らず、ブラックボックス古典的群において単位的要素を構築することは可能か？
• RQ2 log q に関して多項式的、p に関しては二次関数的実行時間となるアルゴリズムを設計することは可能か？
• RQ3 q ≡ 1 mod 4 を満たす有限体上の非-twisted 古典的群に対して、Steinberg 生成子を体系的に構築することは可能か？
• RQ4 Curtis-Tits 構成は、ブラックボックス群の構造回復を効率的に行うために果たす役割は何か？
• RQ5 局所的部分群構造を用いて、Weyl 群要素とルート部分群を群全体にわたって一貫して整合させることは可能か？

主な発見

• アルゴリズムは、q ≡ 1 mod 4 を満たす PSL₂(q) に対して、log q に関して多項式的、p に関しては二次関数的実行時間で Steinberg 生成子を構築し、従来手法に比べ顕著な改善を達成した。
• q ≡ 1 mod 4 を満たす F_q 上の Aₙ, Bₙ, Cₙ, Dₙ 型古典的群に対して、アルゴリズムはすべての必要な単位的要素、最大トーラス、Weyl 群要素を効率的に構築した。
• 実行時間は、ある定数 c, d に対して O(p² · log q^c · n^d) であり、入力サイズ log q に関して多項式的で、q が大きい場合でも実用可能である。
• 共軛作用によるトーラスの一致と可換関係の検証を通じて、群全体にわたるルート部分群の整合性が保証された。
• アルゴリズムはモンテカルロ的であり、特にトーラスを一致させるような重要な段階において、成功確率が 1/2 以上である。
• Sp₂ₙ(q) に用いられた手法を類似の方法で Dₙ 型および Ω₂ₙ₊₁(q) 型の群へ拡張し、ルート系の対称性に応じた適切な調整を加えた。