[論文レビュー] Steiner (revised) Szeged index of graphs

Modjtaba Ghorbani, Xueliang Li+4 more|arXiv (Cornell University)|May 31, 2019

Graph theory and applications参考文献 19被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、k 頂点集合に対するスティーナー距離を用いた古典的 Szeged 指数の新しい一般化であるスティーナー（再定義）Szeged 指数を導入する。木に対する正確な公式を導出し、自己同型群の軌道を用いて指数を表現し、連結グラフにおける鋭い上界および下界を確立する。k の極値（特に k = n−1）に対する閉形式の表現も得られる。

ABSTRACT

The Steiner distance in a graph, introduced by Chartrand et al. in 1989, is a natural generalization of the concept of classical graph distance. For a connected graph $G$ of order at least 2 and $S\subseteq V(G)$, the Steiner distance $d_G(S)$ of the set $S$ of vertices in $G$ is the minimum size of a connected subgraph whose vertex set contains or connects $S$. In this paper, we introduce the concept of the Steiner (revised) Szeged index ($rSz_k(G)$) $Sz_k(G)$ of a graph $G$, which is a natural generalization of the well-known (revised) Szeged index of chemical use. We determine the $Sz_k(G)$ for trees in general. Then we give a formula for computing the Steiner Szeged index of a graph in terms of orbits of automorphism group action on the edge set of the graph. Finally, we give sharp upper and lower bounds of ($rSz_k(G)$) $Sz_k(G)$ of a connected graph $G$, and establish some of its properties. Formulas of ($rSz_k(G)$) $Sz_k(G)$ for small and large $k$ are also given in this paper.

研究の動機と目的

• k 頂点集合に対するスティーナー距離を組み込むことで、古典的 Szeged 指数および再定義 Szeged 指数を一般化すること。
• 頂点分割と二項係数を活用し、木におけるスティーナー Szeged 指数の正確な公式を導出すること。
• 辺に作用する自己同型群の軌道を用いて、スティーナー Szeged 指数を効率的に計算する手法を開発すること。
• 連結グラフにおけるスティーナー（再定義）Szeged 指数の鋭い上界および下界を確立すること。
• k が極値（特に n 頂点グラフにおける k = n−1）となる場合の指数の閉形式表現を導出すること。

提案手法

• k 階スティーナー Szeged 指数を $ Sz_k(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} (n_u(e;k) + 1)(n_v(e;k) + 1) $ として定義する。ここで $ n_u(e;k) $ は、u が v より S' ∪ {u} に近いような (k−1)-部分集合 S' の数を表す。
• k 階再定義スティーナー Szeged 指数を $ rSz_k(G) = \sum_{e=uv \in E(G)} (n_u(e;k) + n_0(e;k)/2 + 1)(n_v(e;k) + n_0(e;k)/2 + 1) $ として定義し、$ n_0(e;k) $ を用いて同率を扱う。
• 自己同型群の軌道を用いて、構造的に同等な役割を持つ辺をグループ化することで、指数を効率的に計算する。
• 木に対して、$ a_i $ を辺を削除したときの部分木のサイズとするとき、$ Sz_k(T) = \sum_{i<j} a_i a_j \left( \binom{a_i-1}{k-1} + 1 \right) \left( \binom{a_j-1}{k-1} + 1 \right) $ を導出する。
• 境界を確立：$ m \leq Sz_k(G) \leq m \left( \left\lceil \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rceil + 1 \right) \left( \left\lfloor \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rfloor + 1 \right) $、等号成立条件を付記。
• k = n−1 の場合の正確な値を提示：$ Sz_{n-1}(G) = m + p $、$ rSz_{n-1}(G) = 2p + \frac{9}{4}(m - p) $、ここで p は端点を含む辺の数である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的 Szeged 指数は、k 頂点スティーナー距離を用いてどのように一般化できるか？
• RQ2 木におけるスティーナー Szeged 指数の正確な公式は何か？
• RQ3 辺に作用する群の作用を用いて、スティーナー Szeged 指数を効率的に計算できるか？
• RQ4 連結グラフにおけるスティーナー（再定義）Szeged 指数の最も鋭い上界および下界は何か？
• RQ5 k が最大に近い（k = n−1）場合の指数の閉形式表現は何か？

主な発見

• 木において、スティーナー Szeged 指数は $ Sz_k(T) = \sum_{i<j} a_i a_j \left( \binom{a_i-1}{k-1} + 1 \right) \left( \binom{a_j-1}{k-1} + 1 \right) $ で与えられ、ここで $ a_i $ は辺を削除したときの部分木のサイズである。
• n 頂点 m 辺のグラフについて、k = n−1 のときのスティーナー（再定義）Szeged 指数は $ rSz_{n-1}(G) = 2p + \frac{9}{4}(m - p) $ である。ここで p は端点を含む辺の数である。
• k = n−1 のとき、標準的なスティーナー Szeged 指数は $ Sz_{n-1}(G) = m + p $ であり、すべての連結グラフに適用可能である。
• 指数 $ Sz_k(G) $ は、G が (n−k)-連結であるとき、最小値 m をとる。これは高い対称性と頂点の均等な分布を示している。
• Sz_k(G) の上界は $ m \left( \left\lceil \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rceil + 1 \right) \left( \left\lfloor \frac{1}{2} \binom{n-2}{k-1} \right\rfloor + 1 \right) $ であり、非対称なグラフで等号が成立する。
• 関数 $ rSz_{n-1}(T) $ は、端点を含む辺の数 p に関して厳密に増加するため、星形グラフが最小で、パスが最大となる。