[論文レビュー] Steinhaus' problem on partition of a triangle

Apoloniusz Tyszka|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2006

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ひとこと要約

この論文は、鋭角三角形の各辺への垂線の足が、三角形を面積が等しい3つの領域に分割する点が存在するかどうかという、シュタインハウスが長年にわたり提起した問題を解決する。測度論的および幾何的議論を用いて、連続的分割定理を応用してそのような点の存在を証明し、三角形の角と辺の長さを用いた明示的な三角関数的公式を提示する。これにより、すべての鋭角三角形において分割が達成可能であることが確認され、幾何的構成によって鈍角三角形への拡張もなされる。

ABSTRACT

H. Steinhaus asked a question whether inside each acute triangle there is a point from which perpendiculars to the sides divide the triangle into three parts with equal areas. We present two methods of solving Steinhaus' problem.

研究の動機と目的

• 1950年代にシュタインハウスが提起した、すべての鋭角三角形が、その辺への垂線の足が三角形を3つの等面積領域に分割する点を含むかどうかという問題を解決すること。
• 三角形の翻訳を用いた測度論的かつ連続的分割の一般存在定理を確立すること。
• 鋭角および鈍角三角形における分割点の明示的な幾何的および三角関数的構成を提供すること。特に、点が三角形の外部にある場合も含むこと。
• 垂線の足が三角形の外部にある場合でも、辺に垂直な補助線を構成することで、3つの等面積領域への分割が常に可能であることを示すこと。

提案手法

• 平面におけるR²における一般化された質量分割定理を適用し、任意の有界可測集合Tと、その総測度|T|に合計する非負の3つの測度に対して、Tの適切な平行移動により、3つの角領域との交差がそれぞれの測度を与えることを証明する。
• 三角形の角の正接関数を用いた三角恒等式を用いて、頂点AおよびBから分割点X₀までの距離|AX₀|および|BX₀|の明示的表現を導出する。
• 辺ACおよびBCにそれぞれ垂直な2本の直線を構成し、それぞれが面積|△ABC|/3の領域を切り取るようにする。
• 頂点AおよびBの角が、ある正接関数を含む不等式を満たす場合、2本の垂直線の交点は三角形の外部に位置するが、依然として有効な等面積分割を定義できることを示す。
• 幾何的推論を用いて、3つの領域（頂点Aをもつ三角形、頂点Bをもつ三角形、四角形）がいずれも元の三角形面積のちょうど1/3であることを検証する。
• 導出された|AX₀|および|BX₀|の式を用いた代数的検証により、面積の等しさを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての鋭角三角形には、3つの辺への垂線の足が三角形を3つの等面積領域に分割する点が存在するか？
• RQ2 平面における測度論的および連続的分割の議論を用いて、そのような点の存在を証明できるか？
• RQ3 この点の正確な幾何的位置は、三角形の角と辺の長さを用いてどのように表現できるか？
• RQ4 三角形が鈍角である場合、特に点が三角形の外部にある場合、この構成はどのように振る舞うか？
• RQ5 交点が三角形の外部にある場合でも、辺に垂直な直線のみを用いて、このような分割を構成可能か？

主な発見

• 本論文は、任意の鋭角三角形に対して、その内部に存在する点が、3つの辺への垂線の足によって三角形が3つの等面積領域に分割されることを証明する。
• 辺AB上の分割点X₀の位置を明示的に導出する。|AX₀|および|BX₀|は、角AおよびBの正接関数と辺|AB|の長さを用いて表現される。
• 三角形が鈍角（角C > π/2）であっても、正接関数を含む不等式が成り立つ限り、構成は有効であり、垂直線の交点が三角形の外部に位置する場合でも成立する。
• 形成される3つの領域は、頂点Aをもつ三角形、頂点Bをもつ三角形、および四角形であり、それぞれの面積は元の三角形面積の正確に1/3である。
• 点の位置に応じた面積関数の連続的依存性に依拠し、中間値定理を用いて解の存在を保証する。
• 結果としてシュタインハウスの予想が肯定的に確認され、初等的な三角関数および幾何学的手法を用いた、目的の点を特定する構成的メソッドが提供される。