[論文レビュー] Steps towards a classification of $C^r$-generic dynamics close to homoclinic points

Nicolas Gourmelon|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ホモクラインねじれと異次元サイクルの近傍における$C^r$-一般的分類枠組みを提案し、系が体積的双曲的でない場合に限り、無限個の吸引域/発散域が出現することを確立している。この分岐の近傍における実現可能なリャプノフ指数ベクトルの集合は、凸多面体として特徴付けられ、$C^1$-結果を$C^r$および$C^{1+\alpha}$位相へ拡張し、トゥレイエフのホモクラインねじれに関する予想を確認している。

ABSTRACT

We present here the first part of a program for a classification of the generic dynamics close to homoclinic and heteroclinic points, in the $C^r$ topologies, $r\geq 1$. This paper only contains announcements and a few sketches of proofs; a forthcoming series of papers will present the proofs in details. The two prototypical examples of non-hyperbolic dynamics are homoclinic tangencies and heterodimensional cycles. Palis conjectured that they actually characterize densely non-hyperbolic dynamics. It is therefore important to understand what happens close to those bifurcations. We generalize classical results of Newhouse, Palis and Viana, for both tangencies and cycles: close to a homoclinic tangency or to a heterodimensional cycle there is abundance of diffeomorphisms exhibiting infinitely many sinks or sources if and only if the dynamics is not volume-hyperbolic. This proves in particular a conjecture of Turaev for homoclinic tangencies. An important result of Bonatti, Diaz, Pujals states that if a homoclinic class is $C^1$-robustly without dominated splitting, then nearby diffeomorphisms exhibit $C^1$-generically infinitely many sinks or sources. We show that this holds in higher regularities, under the further assumption that non-dominations are obtained through so-called "mechanisms". This includes all the examples of robustly non-dominated homoclinic classes one can build with the tools known up to now. We actually have a $C^r$-equivalent of a recent $C^1$-result of Bochi and Bonatti: we describe precisely the Lyapunov exponents along periodic points that may appear close to a homoclinic tangency or to a homoclinic class. The results of Newhouse, Palis and Viana were proven for the $C^r$ topologies, $r\geq 2$. Our results hold also in the $C^{1+α}$ topologies.

研究の動機と目的

• 標準的な摂動的道具（閉じる補題や接続補題）が機能しない$C^r$-位相（$r > 1$）への、画期的な$C^1$-一般的力学系結果の拡張。
• ホモクラインねじれと異次元サイクルを典型分岐として焦点化することで、非双曲的力学系の統一的取り扱いを図ること。
• これらの分岐の近傍における周期測度の可能なリャプノフ指数ベクトルの集合を$C^r$-位相で特徴付けること。
• 体積的双曲的性質の欠如が吸引域／発散域の豊富さを引き起こすことを証明し、ニューホールス、パリス、ヴィアナの結果を高次の正則性へ一般化すること。
• ボーチとボナティの$C^1$-結果（ホモクラインねじれ近傍におけるリャプノフ指数実現）を$C^r$-同等の結果へ一般化すること。

提案手法

• 周期測度におけるリャプノフ写像$\sigma: \{0,\dots,d\} \to \mathbb{R}$の形式的枠組みを導入し、$\sigma(0) = 0$および$\sigma(d) = \text{tr}(Df)$を満たす。
• $\mathcal{G}(\Lambda)$を、$\sigma$と一致するインデックス$i \in I$（ホモクライン集合$\Lambda$上の支配的分解のインデックス集合）を除き、$\tau \geq \sigma$を満たすリャプノフ写像$\tau$の凸多面体として定義する。
• $C^r$-摂動を用いて、$f_n \to f$および$\operatorname{supp}(\mu_n) \to \Lambda$（ハウスドルフ位相で）を満たす微分同相写像$f_n$と周期測度$\mu_n$の列を構成する。
• $f$の近傍$\mathcal{U}$における$C^r$-一般的微分同相写像$g$に対して、$g|_U$の周期測度のリャプノフ写像の閉包が、$\mathbb{R}^d$における$\mathcal{G}(\Lambda)$の近傍を含むことを示す。
• 異次元サイクルへの適用のために、$\mathcal{G}(\Lambda)$を、$\tau \geq \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$かつ$i \in I$で$\tau = \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$を満たす凸写像$\tau$の集合として定義する。ここで$\mu, \sigma$は2つのサドルにおけるリャプノフ写像である。
• $C^{1+\alpha}$-位相への適用では、$C^r$-結果と同様に文を適応させ、実現可能なリャプノフ指数の多面体構造を維持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホモクラインねじれ$\Lambda$の近傍で、$C^r$-摂動により漸近的に実現可能なリャプノフ指数ベクトルの集合は何か？
• RQ2 ホモクラインねじれまたは異次元サイクルの近傍で、ニューホールス現象（無限個の吸引域／発散域）が$C^r$-正則性の下でどのような条件下で生じるか？
• RQ3 ボーチとボナティの$C^1$-結果（リャプノフ指数実現）は、$r > 1$の$C^r$-位相へ拡張可能か？
• RQ4 組み合わせ的構造が一般的である異次元グラフの近傍において、体積的双曲的性とニューホールス現象の二分法は$C^r$-位相で成立するか？
• RQ5 インデックス差が1より大きい異次元サイクルへ、$C^1$-摂動では安定なサイクルが作成できない場合に、この枠組みを拡張可能か？

主な発見

• ホモクラインねじれ$\Lambda$の近傍における実現可能なリャプノフ指数ベクトルの集合は、正確に凸多面体$\mathcal{G}(\Lambda)$である。ここで$\mathcal{G}(\Lambda)$は、$\sigma$と一致するインデックス$i \in I$（$\{0,d\}$および$\Lambda$上の支配的分解のインデックスを含む）を除き、$\tau \geq \sigma$を満たす凸写像$\tau$の集合である。
• $f$の近傍$\mathcal{U}$における任意の$C^r$-一般的微分同相写像$g$に対して、$g|_U$の周期測度のリャプノフ写像の閉包は、$\mathbb{R}^d$における$\mathcal{G}(\Lambda)$の近傍を含む。
• $C^r$-版のニューホールス現象（無限個の吸引域または発散域）は、ホモクラインねじれの近傍で、系が体積的双曲的でない場合に限り発生する。これはトゥレイエフの予想を確認する。
• この枠組みは$C^{1+\alpha}$-位相へ拡張可能であり、同じリャプノフ指数多面体の特徴付けが成り立つが、文の適応が必須である。
• 異次元サイクルの場合は、候補集合$\mathcal{G}(\Lambda)$は、$\tau \geq \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$かつ$i \in I$で$\tau = \lambda\mu + (1-\lambda)\sigma$を満たす凸写像$\tau$の多面体であるが、インデックス差が1より大きい場合にはまだ予想の段階である。
• 本結果は、ニューホールス、パリス、ヴィアナの$C^r$-結果を$C^r$-一般的力学系へ一般化し、また「メカニズムに基づく非支配性」の仮定の下で、ボーチとボナティの$C^1$-結果を$C^r$-正則性へ拡張している。