[論文レビュー] Sticky processes, local and true martingales

Miklós Rásonyi, Hasanjan Sayit|arXiv (Cornell University)|Sep 28, 2015

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

この論文は、全変動ノルムで元の測度 P に限りなく近い同等の確率測度 Q を選ぶことで、スティッキー局所 martingale が任意に近い精度で真の martingale に近似可能であることを確立している。主な結果は、任意のスティッキー過程 S に対して、‖Ŝ − S‖_Lp(Q) が任意に小さくなる Q- martingale Ŝ が存在することを示している。連続パスの場合、supremum ノルム近似も可能である。

ABSTRACT

We prove that for a so-called sticky process $S$ there exists an equivalent probability $Q$ and a $Q$-martingale $ ilde{S}$ that is arbitrarily close to $S$ in $L^p(Q)$ norm. For continuous $S$, $ ilde{S}$ can be chosen arbitrarily close to $S$ in supremum norm. In the case where $S$ is a local martingale we may choose $Q$ arbitrarily close to the original probability in the total variation norm. We provide examples to illustrate the power of our results and present applications in mathematical finance.

研究の動機と目的

• 同等の測度の下で局所 martingale を真の martingale に近似するという課題に取り組む。
• 離散時間における測度変更の結果を、一般には近似が失敗する連続時間設定に拡張する。
• このような近似が可能な広範な過程のクラス（スティッキー過程）を同定する。
• 局所 martingale だが真の martingale でない金融的応用の理論的基盤を提供する。

提案手法

• スティックネスの概念を導入：有限時間枠内で、過程が現在値の任意の小さな近傍に正の確率でとどまる。
• 条件付きフルサポート（CFS）性質とマルコフ性を用いて、Lévy 过程や分数 Browm運動を含むスティッキー過程のクラスを同定。
• 可測選択定理と正で可積分な密度 f を用いたカーネルベースの測度変更を適用して同等の測度 Q を構成。
• Banach 空間における連続関数と条件付き分布を用いた関数解析的枠組みを採用し、ノルム近似を保証。
• 過程の増分の条件付き分布を調整する密度 j(z, ω) を構築し、Q の下で平均がゼロかつノルムが小さくなるようにする。
• 独立性と条件付き期待値の恒等式（補題 7.4）を活用し、測度変更における同時モーメントを制御。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 真の martingale でない局所 martingale が、同等の測度の下で真の martingale に近似可能か。
• RQ2 近似測度 Q を、全変動ノルムで元の測度 P に限りなく近づけることができる条件は何か。
• RQ3 Lévy、CFS、連続的、ジャンプ付きなどのどの確率過程のクラスが、このような近似に必要なスティックネス条件を満たすか。
• RQ4 近似は Lp(Q) ノルムで達成可能か。また、連続パスの場合、supremum ノルムでも可能か。
• RQ5 条件付きフルサポート（CFS）性質がこのような近似を可能にする役割は何か。

主な発見

• 任意のスティッキー過程 S に対して、同等の確率測度 Q が存在し、Q- martingale Ŝ が任意の ε > 0 に対して ‖Ŝ − S‖_Lp(Q) < ε を満たす。
• S が連続である場合、Q の下で supremum ノルムにおいても近似を任意に良くできる。
• スティッキー局所 martingale に対しては、全変動距離が任意の δ > 0 よりも小さくなるように測度 Q を選べる。
• スティッキー過程のクラスには、すべての正規強マルコフ過程、大多数の Lévy 过程、および CFS 性質を持つ過程（例：分数 Browm 運動）が含まれる。
• 条件付き分布をゼロ平均かつ小さなノルムに調整する正の密度の可測選択に依存した構成が行われる。
• この手法は c`adl`ag 過程にも適用可能であり、従来の連続パスに限られた結果を拡張している。