[論文レビュー] Stieltjes integrals of Hölder continuous functions with applications to fractional Brownian motion

A. A. Ruzmaikina|ArXiv.org|May 15, 2000

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、再帰的分割と再正準化群技術を用いた新しい表現式を導出し、バナッハ空間におけるホルダー連続関数のスティルチェス積分に対する新たな推定を確立する。これにより、分数 Browm 動的（fBm）に関する経路に沿った確率積分の構成が可能となり、fBm によって駆動される確率微分方程式（SDE）の解の存在と一意性がホルダー連続関数空間で示され、その積分の最大値に関する尾確率推定が得られる。これは、非半マルティンゲール過程への古典的 Itô 積分の拡張を実現する。

ABSTRACT

We give a new estimate on Stieltjes integrals of Hölder continuous functions and use it to prove an existence-uniqueness theorem for solutions of ordinary differential equations with Hölder continuous forcing. We construct stochastic integrals with respect to fractional Brownian motion, and establish sufficient conditions for its existence. We prove that stochastic differential equations with fractional Brownian motion have a unique solution with probability 1 in certain classes of Hölder-continuous functions. We give tail estimates of the maximum of stochastic integrals from tail estimates of the Hölder coefficient of fractional Brownian motion. In addition we apply the techniques used for ordinary Brownian motion to construct stochastic integrals of deterministic functions with respect to fractional Brownian motion and give tail estimates of its maximum.

研究の動機と目的

• リーマン和の発散問題を克服し、有界変動でない関数に対するホルダー連続関数のスティルチェス積分に対する新たな推定を確立すること。
• fBm が $\alpha \neq 0$ のとき半マルティンゲールでないため、分数 Browm 動的（fBm）への経路に沿った確率積分の理論を拡張すること。
• ホルダー連続関数空間における fBm によって駆動される確率微分方程式（SDE）の解の存在と一意性を証明すること。
• ホルダー係数の性質とガウス過程の不等式を用いて、fBm に関する確率積分の最大値に対する尾確率推定を導出すること。
• fBm に対して確定的関数の確率積分を構成し、その最大値の分布を特徴づけること。

提案手法

• 区間の再帰的分割と再正準化群技術を用いて、スティルチェス積分の新しい表現式を導出し、$\int_s^t f\,dg = f(s)(g(t)-g(s)) + \sum_{k=1}^\infty \sum_{i=0}^{2^{k-1}-1} \Delta f(s+s_{2i}^k)\Delta g(s+s_{2i+1}^k)$ と表現する。
• ハーディー＝リトルウッド＝ソボレフの不等式とホルダーの不等式を用いて、確率積分 $\int_0^t f(\tau)\,d\xi_\alpha(\tau)$ の $L^2$ ノルムを評価する。
• コルモゴロフの連続性基準を適用し、確率積分過程の連続版の存在を証明する。
• ガウス過程のためのスレピアンの補題と反射原理を用いて、積分の最大値に関する尾確率の境界を導出する。
• 積分可能性のための条件 $\|f\|_{L^{2/(1+\beta)}} < \infty$ を確立し、尾確率推定のモーメント条件をフェルヌークの不等式を用いて検証する。
• 確率過程 $\int_0^t f(\tau)\,d\xi_\alpha(\tau)$ が中心がゼロのガウス過程であり、共分散が $E[X(s)X(t)] = C\alpha(\alpha+1)\int_0^s\int_0^t \frac{f(u)f(v)}{|u-v|^{1-\alpha}}\,dudv$ に等しいことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホルダー連続関数 $f$ と $g$ に対して、$\beta + \gamma > 1$ の下でスティルチェス積分 $\int f\,dg$ が存在する条件は何か？
• RQ2 fBm が半マルティンゲールでない場合に、経路に沿った確率積分を厳密に構成することは可能か？
• RQ3 ホルダー連続関数空間における fBm によって駆動される SDE の解の存在と一意性の十分条件は何か？
• RQ4 fBm のホルダー正則性から、確率積分 $\int_0^t f(\tau)\,d\xi_\alpha(\tau)$ の最大値に関する尾確率推定をどのように導出できるか？
• RQ5 関数 $f$ が確定的関数であるとき、確率積分の最大値の確率分布は何か？

主な発見

• 定理2で示された新しい表現式により、$f \in \mathcal{C}^\beta$, $g \in \mathcal{C}^\gamma$ かつ $\beta + \gamma > 1$ の下で、スティルチェス積分 $\int_0^t f\,dg$ が経路に沿って存在することが保証される。
• 関数 $f \in L^{2/(1+\beta)}([0,\infty))$ かつ $\beta < \alpha$ の下で、確率積分 $\int_0^t f(\tau)\,d\xi_\alpha(\tau)$ はほとんど確実に連続版を有する。
• ドリフト項と拡散係数が適切なホルダー条件を満たす限り、fBm によって駆動される SDE の解は、ホルダー連続関数空間において確率1で存在し、一意である。
• スレピアンの補題と反射原理を用いて、$\int_0^t f(\tau)\,d\xi_\alpha(\tau)$ の最大値に関する尾確率推定が得られ、$P(\max_{0\leq t\leq 1} X(t) \geq \lambda) \leq \int_{\lambda r / \sqrt{q_{f_+}(0,1)}}^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-x^2/2} dx + \int_{\lambda(1-r)/\sqrt{q_{f_-}(0,1)}}^\infty \sqrt{\frac{2}{\pi}} e^{-x^2/2} dx$ が得られる。
• 条件 $\int_1^\infty \sup_{|s-t|<m^{-x^2}} \sqrt{q_f(s,t)}\,dx < \infty$ が満たされることを確認し、尾確率推定へのフェルヌークの不等式の適用可能性が保証される。