[論文レビュー] Stieltjes, Poisson and other integral representations for functions of Lambert $W$

G. A. Kalugin, David J. Jeffrey+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 27, 2011

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ラマヌジャン・ラムベルト・W関数の主分岐の関数を含む多数の関数がステイエルツ関数であることを確立し、$1/W(z)$、$W(z)/z$、および関連関数の明示的なステイエルツ積分表現を提供する。ジャクソン、プロカッチィ＆ソカラの一般化された予想を証明し、ポアソン、ブルニストン–シュエール、ピック／ベルンシュタイン関数論に基づく積分表現を導出し、スペクトル収束性を示す数値積分法と計算上の利点を可能にする。

ABSTRACT

We show that many functions containing $W$ are Stieltjes functions. Explicit Stieltjes integrals are given for functions $1/W(z)$, $W(z)/z$, and others. We also prove a generalization of a conjecture of Jackson, Procacci & Sokal. Integral representations of $W$ and related functions are also given which are associated with the properties of their being Pick or Bernstein functions. Representations based on Poisson and Burniston--Siewert integrals are given as well.

研究の動機と目的

• ラムベルト・W関数のさまざまな関数がステイエルツ関数のクラスに属することを確立すること。
• 特に$1/W(z)$および$W(z)/z$のような主要な関数の明示的なステイエルツ積分表現を導出すること。
• Wに基づく関数の完全単調性に関するジャクソン、プロカッチィ＆ソカラの一般化された予想を一般化すること。
• W(z)および関連関数のためのポアソンおよびブルニストン–シュエール積分に基づく積分表現を開発すること。
• スペクトル収束性を示す数値積分法と等価積分の簡略化を通じて、計算上の利点を示すこと。

提案手法

• 正の測度$\mu$を用いた定義$f(x) = a + \int_0^\infty \frac{d\mu(t)}{x+t}$に基づき、ステイエルツ積分表現を導出する。
• ステイエルツ関数の性質（合成、逆数、平均値に関する閉包性など）を適用する。
• 複素関数論と輪環積分を用いて、対数関数および逆正 tangent 積分を含む表現（91）および（92）を導出する。
• ブルニストン–シュエール積分法を用いて、$W(z)$を輪環上の複素対数積分で表現する。
• ピックおよびベルンシュタイン関数論を用いて、完全単調性および正定値性に関連する積分表現を導出する。
• 部分積分と漸近的解析を用いて積分を簡略化し、例えば（93）を（94）に変換する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ラムベルト$W$関数のどの関数がステイエルツ関数であるか？
• RQ2 明示的なステイエルツ積分表現を$1/W(z)$および$W(z)/z$に対して導出可能か？
• RQ3 Wに基づく関数の完全単調性に関するジャクソン、プロカッチィ＆ソカラの一般化された予想は真か？
• RQ4 ポアソンおよびブルニストン–シュエール積分をどのように$W(z)$の表現に適用できるか？
• RQ5 これらの積分表現から生じる計算上の利点、特に数値積分法および積分の簡略化においてどのような利点があるか？

主な発見

• $W(z)/z$はステイエルツ関数である。これは、パデ近似における交互に配置された極と、数値積分法におけるスペクトル収束性を示唆する。
• 測度論的および複素解析的手法を用いて、$1/W(z)$、$W(z)/z$、および関連関数の明示的なステイエルツ積分表現が導出された。
• ジャクソン、プロカッチィ＆ソカラによるWに基づく関数の完全単調性に関する一般化された予想は、真であると証明された。
• 複素対数積分を用いた$W(z)$の新しい積分表現が導出され、$z \notin [-1/e, 0]$に対して有効である。式（92）に示される。
• 積分表現（94）は、$x > 1/e$における$W(x)$に対して簡略化された実数値形式を提供し、逆正 tangent および対数的重みを含む。
• 異なる積分形式（例えば（69）と（35））を等置することにより、等価な表現が得られ、複雑な積分の簡略化が可能になる。