[論文レビュー] Stochastic analysis on configuration spaces: basic ideas and recent results

Michael Röckner|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 1998

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用数 42

ひとこと要約

本稿は、リーマン多様体上での配置空間における確率的解析の包括的な枠組みを提示し、持ち上げ手続き、ディリクレ形式、内在幾何学といった基礎的ツールを確立する。一般の特異的相互作用に対して前ディリクレ形式の閉包性を証明し、部分積分によるガウス測度の特徴付けを行い、特にペアポテンシャルの自然な条件と局所可積分性の下で、カノニカルおよびルーリー測度に対する関連する拡散過程のエルゴード性と非可約性を示す。

ABSTRACT

The purpose of this paper is to provide a both comprehensive and summarizing account on recent results about analysis and geometry on configuration spaces $Γ_X$ over Riemannian manifolds $X$. Particular emphasis is given to a complete description of the so--called ``lifting--procedure'', Markov resp. strong resp. $L^1$--uniqueness results, the non--conservative case, the interpretation of the constructed diffusions as solutions of the respective classical ``heuristic'' stochastic differential equations, and a self--contained presentation of a general closability result for the corresponding pre--Dirichlet forms. The latter is presented in the general case of arbitrary (not necessarily pair) potentials describing the singular interactions. A support property for the diffusions, the intrinsic metric, and a Rademacher theorem on $Γ_X$, recently proved, are also discussed.

研究の動機と目的

• リーマン多様体上での配置空間における確率的解析のための体系的枠組みの構築。
• 基本多様体の幾何学から配置空間への持ち上げ手続きの完全かつ自己完結的な取り扱い。
• 一般（非ペアワイズ）相互作用ポテンシャルに関連するディリクレ形式の閉包性と準正則性の確立。
• 部分積分恒等式によるカノニカルおよびグランドカノニカルガウス測度の特徴付け。
• 関連する拡散過程の非可約性とエルゴード性の証明、特にルーリーおよびカノニカルガウス測度のケース。

提案手法

• テスト関数と流れを用いて、基本多様体 X のリーマン幾何学（計量、勾配、発散）を配置空間 ΓX へ持ち上げる。
• 一般基準を用いて特異的かつ非ペアワイズポテンシャルに適応可能な前ディリクレ形式の閉包性を証明する。
• ΓX 上の内在計量を定義し、弱ソボレフ空間に属する関数に対してラデマッハ型定理を証明する。
• マルティンゲール問題とヒューリスティックなSDEを用いて、構築された拡散過程を古典的確率的力学の解として解釈する。
• マルコフの一意性および強い一意性の結果を用いて、拡散過程の生成作用素と半群を特徴付ける。
• 部分積分恒等式を用いて、ガウス測度が拡散過程の不変測度として特徴付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リーマン多様体の幾何的構造を、配置空間 ΓX における無限次元空間への確率的解析のために体系的に持ち上げる方法は何か？
• RQ2 一般の特異的相互作用ポテンシャルに関連する前ディリクレ形式が、ΓX 上でいつ閉包可能となるか？
• RQ3 ΓX 上に構築された拡散過程は、古典的統計力学から導かれたヒューリスティックな確率的微分方程式をどの意味で満たすか？
• RQ4 どのガウス測度が、関連する拡散過程の不変かつエルゴード的測度であるか？
• RQ5 内在計量は、ΓX 上の関数の正則性および幾何的構造を特徴付ける上で果たす役割は何か？

主な発見

• 任意のグランドカノニカルガウス測度 μ に対して、一般の特異的相互作用ポテンシャルに関連する前ディリクレ形式は L2(ΓX, μ) 上で閉包可能であり、これにより先行研究を非ペアワイズ相互作用へ一般化する。
• あるクラスのガウス測度に対して ΓX 上の内在計量を特定し、ラデマッハ定理を証明する：弱ソボレフ空間 W1,2(ΓX, μ) に属する関数は、内在計量に関してほとんど確実に微分可能である。
• カノニカルガウス測度 Gc(σ) に対して、ディリクレ形式 (EΓμ, W1,2(ΓX; μ)) の非可約性は、測度が混合ポアソン測度 πzσ であることに同値である。
• z < z0（z0 は臨界活性度）である Ruelle 測度 μ ∈ Gtgc(z, φ) に対して、ディリクレ形式の非可約性は、ガウス測度の集合における極値点であることに同値である。
• ディリクレ形式を用いて構築された ΓX 上の拡散過程は、ヒューリスティックなSDE dXit = dWit + ∑j≠i ∇φ(Xit−Xjt) dt を満たすことが確認され、物理的妥当性が裏付けられる。
• 極値ガウス測度の集合 exGc(m, Φ)2 は空でなく、z < z0 のときすべての Ruelle 測度が極値であり、エルゴード的拡散をもたらす。