[論文レビュー] Stochastic Analysis Seminar on Filtering Theory

Andrew C. Papanicolaou|arXiv (Cornell University)|Jun 7, 2014

Water Systems and Optimization被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、隠れマルコフモデル、Zakai方程式およびKushner-Stratonovich方程式、およびパーティクルフィルターやマーキov連鎖近似などの数値的手法を焦点として、非線形フィルタリング理論の包括的な理論的・計算的概要を提供する。有限状態のフィルタに対して、リャプノフ指数の下界や、確率単体空間におけるユークリッド距離と角度の正弦との関係を含む、主要な安定性およびエルゴード性の結果を確立する。

ABSTRACT

These notes were originally written for the Stochastic Analysis Seminar in the Department of Operations Research and Financial Engineering at Princeton University, in February of 2011. The seminar was attended and supported by members of the Research Training Group, with the author being partially supported by NSF grant DMS-0739195.

研究の動機と目的

• 連続時間および離散時間の設定における非線形フィルタリングの統一的理論的枠組みを提供すること。
• 有限状態の隠れマルコフモデルに対するフィルタの安定性、エルゴード性、収束特性を分析すること。
• 実装に向けた数値近似手法（パーティクルフィルターやマーキov連鎖近似など）を導出し、正当化すること。
• フィルタリング理論と金融応用（特に確率的ボラティリティとVIXインデックス）を結びつけること。
• リャプノフ指数と確率単体空間における幾何的関係を用いて、フィルタ性能の厳密な上限を確立すること。

提案手法

• 信号のノイズのある観測値を前提とした非正規化条件付き分布を記述するためにZakai方程式を用いる。
• 最適二乗推定のための正規化版として、Zakai方程式の正規化形であるKushner-Stratonovich方程式を導出する。
• インノベーションズ・アプローチを適用し、独立増分を持つブラウン運動を用いてフィルタリングを再定式化する。
• 非線形系におけるパーティクルフィルタの実装に、逐次重要度サンプリング（SIS）および重要度再サンプリング（SIR）を用いる。
• 連続時間SDEを離散化し、有限状態のマルコフ連鎖を用いてフィルタを近似するために、マーキov連鎖近似を用いる。
• ペロン＝フロベニウスの定理およびオセレデツの定理を用いて、リャプノフ指数を介したフィルタの長期的挙動と安定性を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズがあり部分的な観測値が得られる状況下で、隠れマルコフ過程の事後分布をどのように最適に推定できるか？
• RQ2 非線形フィルタが時間経過とともに収束し、安定性を保つための条件は何か？
• RQ3 リャプノフ指数は、有限状態のフィルタにおいて、収束速度および初期条件への感度をどのように特徴付けるか？
• RQ4 2つの事後分布間のユークリッド距離とそれらのなす角度の正弦との間に成立する幾何的・確率的制約は何か？
• RQ5 パーティクルフィルターやマーキov連鎖近似を、Zakai方程式の近似解を体系的に得るためにどのように応用できるか？

主な発見

• フィルタの安定性はリャプノフ指数によって支配され、推定誤差の減衰率の下界が $ c \\-2\min_{i\neq j}\sqrt{\Lambda_{ij}\Lambda_{ji}} $ で与えられる。
• 低ノイズモデルでは、漸近的誤差 $ \gamma^2\mathcal{E}_{\gamma} $ は $ -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{d}\mu_{i}\min_{i\neq j}(h(x_i)-h(x_j))^2 $ と $ -\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{d}\mu_{i}\sum_{j=1}^{d}(h(x_i)-h(x_j))^2 $ の間で有界である。
• フィルタ過程 $ (X_n, \pi_n) $ はエルゴード的であり、一意な不変測度 $ \mathcal{M} $ を持つため、時間平均が $ \mathcal{M} $ における期待値に収束することが保証される。
• $ \mathbb{R}^d $ 内の2つの確率ベクトル $ a, b $ の間のユークリッド距離 $ \|a-b\| $ は、 $ \frac{1}{\sqrt{d}}|\sin(a,b)| \leq \|a-b\| \leq \sqrt{d}|\sin(a,b)| $ を満たし、距離と角度の分離の幾何的関係を確立する。
• SIRリサンプリングを用いたパーティクルフィルタは、弱収束および正則性条件の下で、真のフィルタの一貫した近似を達成する。
• カルマン＝ブチャフィルタは、線形ガウス仮定の下で非線形フィルタの特殊ケースとして導出され、閉形式解を提供する。