[論文レビュー] Stochastic blockmodel approximation of a graphon: Theory and consistent estimation

Edoardo M. Airoldi, Thiago B. Costa+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2013

Complex Network Analysis Techniques参考文献 26被引用数 116

ひとこと要約

本稿では、観測されたネットワークデータからグラフオンを一貫して推定するための計算的に効率的な確率的ブロックモデル近似（SBA）アルゴリズムを提案する。ノードの潜在的位置における類似度に基づいてグラフオンを区分的定数関数で近似することで、区分的リプシッツ条件の下で、ネットワークサイズが増加するにつれて平均絶対誤差においてほとんど確実な一貫性を達成する。

ABSTRACT

Non-parametric approaches for analyzing network data based on exchangeable graph models (ExGM) have recently gained interest. The key object that defines an ExGM is often referred to as a graphon. This non-parametric perspective on network modeling poses challenging questions on how to make inference on the graphon underlying observed network data. In this paper, we propose a computationally efficient procedure to estimate a graphon from a set of observed networks generated from it. This procedure is based on a stochastic blockmodel approximation (SBA) of the graphon. We show that, by approximating the graphon with a stochastic block model, the graphon can be consistently estimated, that is, the estimation error vanishes as the size of the graph approaches infinity.

研究の動機と目的

• 観測されたネットワークデータからのグラフオンに関する非パラメトリック推定の課題に対処すること。
• 潜在的なグラフオン関数を推定するための計算的に効率的な手法を開発すること。
• 現実的な滑らかさの仮定の下で推定手順の理論的一貫性を確立すること。
• ノードの標準ラベル化を必要としない実用的なアルゴリズムを提供すること。

提案手法

• nが増加するにつれてブロックサイズが小さくなるように、2次元の段階関数としてグラフオンを近似する。これは、ブロックサイズを小さくする確率的ブロックモデルに相当する。
• グラフオンの行および列スライス間のL1距離を用いてノードの類似度を定義し、観測された隣接行列を用いてこれらの距離を推定する。
• 推定された類似度に基づいてノードをブロックにクラスタリングし、ブロックサイズをnに従って減少する閾値Δnで制御する。
• 各ブロック内のエッジ確率の経験的平均として、各ブロックにおけるグラフオン値を推定する。
• 集中不等式を用いて推定誤差をバインドし、グラフオンにおける区分的リプシッツ条件を活用する。
• 平均絶対誤差（MAE）および平均二乗誤差（MSE）がn → ∞の下で確率的におよび期待値の意味で0に収束することを示すことにより、一貫性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 計算的に効率的なアルゴリズムは、観測されたネットワークデータからグラフオンを一貫して推定できるか？
• RQ2 ネットワークサイズが増加するにつれて、グラフオンを確率的ブロックモデルで近似することで一貫した推定が達成できるか？
• RQ3 グラフオンが区分的リプシッツ連続性を満たす場合、推定誤差はどのように振る舞うか？
• RQ4 推定誤差の収束速度はネットワークサイズの観点からどの程度か？
• RQ5 ノードのラベルが入れ替わった場合でも、ブロック構造のおかげで一貫性が達成できるか？

主な発見

• SBAアルゴリズムはほとんど確実な一貫性を達成する：推定されたグラフオンの平均絶対誤差（MAE）はn → ∞の下で確率的に0に収束する。
• 期待値としての平均絶対誤差は0に収束するため、区分的リプシッツ仮定の下で期待値の意味での一貫性が保証される。
• シミュレーションスタディにおいて、USVTなどの既存手法よりも優れた性能を示し、計算複雑度も良好である。
• 推定誤差はO(√Δn + Δn)で有界であり、Δnはnに従って減少する調整パラメータであるため、収束が保証される。
• 推定されたグラフオンがノードの置換に関して定義されていても、真の生成グラフオンとの相対誤差を測定しているため、一貫性の結果は成り立つ。
• 証明は集中不等式の利用とブロックサイズの制御に依存しており、nが増加するにつれて小さなブロックに属するノードの割合が0に収束することを保証する。