[論文レビュー] Stochastic Comparisons of Lifetimes of Two Series and Parallel Systems with Location-Scale Family Distributed Components having Archimedean Copulas

Amarjit Kundu, Shovan Chowdhury|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2017

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 25被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、部品が場所スケール族分布に従い、アーチメデス・コプゥラを介して依存関係を示す場合の直列および並列システムの寿命に関する確率的比較を確立する。場所またはスケール母数の分散が増加すると、システムの性能が確率的に向上することを示しており、独立性の下での結果は依存性の下での結果よりもより一般である。これは、指数分布およびワイブル分布に関する先行研究を拡張するものである。

ABSTRACT

In this paper, we compare the lifetimes of two series and two parallel systems stochastically where the lifetime of each component follows location-scale (LS) family of distributions. The comparison is carried out under two scenarios: one, that the components of the systems have a dependent structure sharing Archimedean copula and two, that the components are independently distributed. It is shown that the systems with components in series or parallel sharing Archimedean copula with more dispersion in the location or scale parameters results in better performance in the sense of the usual stochastic order. It is also shown that if the components are independently distributed, it is possible to obtain more generalized results as compared to the dependent set-up. The results in this paper generalizes similar results in both independent and dependent set up for exponential and Weibull distributed components.

研究の動機と目的

• 独立でない部品に拡張された直列および並列システムの確率的比較結果を、アーチメデス・コプゥラを介した依存関係を持つ部品にまで拡張すること。
• 指数分布およびワイブル分布に関する既存の知見を、より広範な場所スケール（LS）族分布へ一般化すること。
• 場所およびスケール母数の変動が、独立および依存部品構造下でのシステム寿命に与える確率的影響を調査すること。
• 通常の確率的順序、尤度比順序、老化が速い順序の観点から、あるシステムが別のシステムを確率的に支配するための十分条件を確立すること。
• アーチメデス・コプゥラとLS族からのベースライン分布を用いて、異なる依存構造下でのシステム性能を比較すること。

提案手法

• 場所スケール族表現を用いる：$ X \sim LS(\lambda, \sigma, F) $、ここで $ F\left(\frac{x - \lambda}{\sigma}\right) $、$ \lambda $ を場所母数、$ \sigma $ をスケール母数とする。
• 生成関数 $ \psi_1 $ および $ \psi_2 $、およびそれらの逆関数 $ \phi_1 = \psi_1^{-1} $、$ \phi_2 = \psi_2^{-1} $ を用いて部品の依存関係をアーチメデス・コプゥラでモデル化する。
• 通常の確率的順序、尤度比順序、故障率順序、逆故障率順序を用いてシステム寿命を比較する。
• 主要化理論と $ \phi_2 \circ \psi_1 $ の超加法性を用いて、確率的優位性の条件を導出する。
• 老化行動の評価と順序関係の導出に、逆故障率関数 $ \tilde{r}_X(u) $ および故障率関数 $ r_X(u) $ を用いる。
• システム寿命の分布関数を導出する：直列および並列システムに対してそれぞれ $ G_{n:n}(t) = \psi_1\left[\sum_{k=1}^n \phi_1\left\{F\left(\frac{t - \lambda_k}{\sigma_k}\right)\right\}\right] $。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 場所またはスケール母数の分散が増加すると、LS分布に従う部品を有する直列および並列システムの確率的性能にどのように影響するか？
• RQ2 部品がアーチメデス・コプゥラを介して依存している場合、あるシステムが別のシステムを確率的に支配するための条件は何か？
• RQ3 依存部品の結果と独立性の下での結果を比較すると、確率的順序の一般性および強度の観点でどちらが優れているか？
• RQ4 アーチメデス・コプゥラ生成関数およびベースライン分布にどのような条件下で、並列システムに対して $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $ が成り立つか？
• RQ5 どのような状況下で、通常の確率的順序、尤度比順序、または老化が速い順序が、LS分布に従う2つのシステムの間で成立するか？

主な発見

• アーチメデス・コプゥラを共有する直列システムでは、$ \mathbf{\frac{1}{\sigma}} \stackrel{w}{\succeq} \mathbf{\frac{1}{\xi}} $ が成り立つ限り、$ \phi_2 \circ \psi_1 $ が超加法的であり、$ \psi_1 $ または $ \psi_2 $ が対数凸であり、かつ $ X \geq_{st} Y $ であれば、$ X_{1:n} \geq_{st} Y_{1:n} $ が成り立つ。
• 同一の場所母数を持つ並列システムでは、同じ条件下で、かつ逆故障率が単調減少であれば、$ \mathbf{\frac{1}{\sigma}} \stackrel{w}{\succeq} \mathbf{\frac{1}{\xi}} $ が成り立つと $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $ が成立する。
• スケール母数が変動し、場所母数が等しい場合、$ \mathbf{\frac{1}{\sigma}} \stackrel{p}{\succeq} \mathbf{\frac{1}{\xi}} $ が成り立つと、$ ur_X(u) $ または $ ur_Y(u) $ が単調減少であれば $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $ が成立する。
• 場所母数が変動し、スケール母数が等しい場合、$ \boldsymbol{\lambda} \succeq_w \boldsymbol{\mu} $ が成り立つと、$ X \geq_{st} Y $ かつ $ ur_X(u) $ または $ ur_Y(u) $ が単調減少であれば $ X_{n:n} \geq_{st} Y_{n:n} $ が成立する。
• これらの結果は、指数分布およびワイブル分布に関する先行研究を一般化し、独立および依存部品構造下で、場所スケール族全体に拡張している。
• 独立性の場合は、超加法性や生成関数の対数凸性といったコプゥラ固有の条件を回避できるため、依存性の下での結果よりもより一般的な結果が得られる。