[論文レビュー] Stochastic continuity of random fields governed by a system of stochastic PDEs

Kai Du, Jiakun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、$L^p$-ノルムを含む修正された確率的放物型条件を導入することで、確率的偏微分方程式系の $C^{2+\theta}$-正則性理論を確立し、解の空間的・時間的ホルダー連続性を保証する。$L^p$-値ホルダー空間における鋭いシュアダー型推定と可解性結果を証明し、係数構造に対する最小限の仮定の下で、古典的SPDE理論を系へと拡張する。

ABSTRACT

This paper constructs a solvability theory for a system of stochastic partial differential equations. On account of the Kolmogorov continuity theorem, solutions are looked for in certain Hölder-type classes in which a random field is treated as a space-time function taking values in $L^{p}$-space of random variables. A modified stochastic parabolicity condition involving $p$ is proposed to ensure the finiteness of the associated norm of the solution, which is showed to be sharp by examples. The Schauder-type estimates and the solvability theorem are proved.

研究の動機と目的

• 非対角行列を有する系に対して、既存の $L^p$-理論を $C^{2+\theta}$-正則性理論へと拡張すること。
• $p=2$ を超えるホルダー型空間におけるSPDE系の正則性結果の欠如に応えること。
• $L^p$-値ホルダーノルム内での解の有界性を保証する鋭い条件を確立し、確率的連続性と標本パスの正則性を保証すること。
• $L^p(\Omega)$-値の確率的場に対してコルモゴロフ連続性定理を一般化し、解のパスワイズホルダー連続性を導出可能とする。

提案手法

• 確率的場を $L^p(\Omega)$-値の空間的・時間的関数として扱えるようにするため、$L^p$-値ホルダー空間 $\mathcal{C}_p^\delta$ を新たに導入し、標本パスの正則性解析を可能にする。
• 解ノルムが $\mathcal{C}_p^\delta$ 内で有界であることを保証する、$p$ を含む修正された確率的放物型条件を提案。反例により、これが鋭いことが示される。
• $L^p(\Omega)$-値設定におけるコルモゴロフ連続性定理を適用し、解の確率的連続性とホルダー正則性を導出する。
• 新しい放物型条件の下で、解の2階微分に対するシュアダー型推定を導出し、決定的手法を確率的系へと拡張する。
• フーリエ解析とSDE技法を用いて、空間的・時間的ホワイトノイズを有するモデル系における解の $L^p$-ノルムの成長を解析し、放物型条件が成立しない場合には爆発が生じることを証明する。
• 放物型条件における補助行列 $\Lambda$ の選択を、特定の係数構造に最適化可能とするフレームワークを構築し、基準の鋭さを向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数行列に対する最小限の仮定の下で、確率的PDE系に対して $C^{2+\theta}$-正則性理論を確立できるか。
• RQ2 解が $L^p$-値ホルダーノルム内で有界のまま保たれるための係数に関する鋭い条件は何か。これにより確率的連続性が保証される。
• RQ3 拡散行列の反対称部が解の $L^p$-ノルムに与える影響は何か。一般化された放物型条件でこれを捉えることができるか。
• RQ4 提案された確率的放物型条件は最適か。補助行列 $\Lambda$ を導入することで改善可能か。
• RQ5 $L^p(\Omega)$-値の確率的場に対してコルモゴロフ連続性定理を適応可能か。これにより解のパスワイズホルダー連続性が導出可能か。

主な発見

• 修正された確率的放物型条件は鋭いことが示された：条件が成立しない場合、解の $L^p$-ノルムは有限時間で爆発する可能性がある。例6.5（$p=3$, $\lambda=3$, $\mu=1$）で確認された。
• $p \geq 3$ の場合、放物型条件における $\Lambda = \frac{\lambda - \mu}{2(p-2)}$ の選択が最適な境界を与える。$\Lambda = 0$ では常に最小要件を満たさない。
• データ $f$, $g$, および $\partial g$ が $\mathcal{C}_p^\delta$ に属する限り、解 $u$ 及びその1階・2階微分が $L^p$-値ホルダー空間 $\mathcal{C}_p^\delta$ に属する。これにより、完全なシュアダー型推定が確立される。
• $\delta p > d$ のとき、コルモゴロフ連続性定理を $L^p(\Omega)$-値設定に適用することで、解はほとんど確実に空間的ホルダー連続性を持つ。
• 本稿では $\mathcal{C}_p^\delta$ 空間における可解性定理を証明し、提案された放物型条件の下で解の存在と一意性を示した。
• モデル系 $A = \text{diag}(1+\lambda^2, 1+\mu^2)$, $B = \begin{bmatrix} 0 & -\mu \\ \lambda & 0 \end{bmatrix}$ において、$\varepsilon = \lambda^2 + (p-1)\mu^2 - 2 > 0$ ならば、$t > 2/\varepsilon$ のとき解の $L^p$-ノルムは無限大になる。これにより条件の鋭さが裏付けられた。