[論文レビュー] Stochastic control for a class of nonlinear kernels and applications

Dylan Possamaï, Xiaolu Tan+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 79被引用数 61

ひとこと要約

本稿は、後向きストキャスティック微分方程式（BSDE）によって表現される非線形カーネルの確率的制御に関する動的計画法の原則を確立し、価値関数のセミマルティンゲール的特徴付けを可能にする。正則性仮定を課さない第二階のBSDEの適切性（well-posedness）を証明し、ロバストなオプション分解を導出し、追加の正則性条件下で価値関数を経路に依存するPDEの連続的解と関連付ける。

ABSTRACT

We consider a stochastic control problem for a class of nonlinear kernels. More precisely, our problem of interest consists in the optimisation, over a set of possibly non-dominated probability measures, of solutions of backward stochastic differential equations (BSDEs). Since BSDEs are nonlinear generalisations of the traditional (linear) expectations, this problem can be understood as stochastic control of a family of nonlinear expectations, or equivalently of nonlinear kernels. Our first main contribution is to prove a dynamic programming principle for this control problem in an abstract setting, which we then use to provide a semi-martingale characterisation of the value function. We next explore several applications of our results. We first obtain a wellposedness result for second order BSDEs (as introduced in [86]) which does not require any regularity assumption on the terminal condition and the generator. Then we prove a nonlinear optional decomposition in a robust setting, extending recent results of [71], which we then use to obtain a super-hedging duality in uncertain, incomplete and nonlinear financial markets. Finally, we relate, under additional regularity assumptions, the value function to a viscosity solution of an appropriate path-dependent partial differential equation (PPDE).

研究の動機と目的

• 非線形カーネルの文脈において、非支配的確率測度の下での確率的制御のための動的計画法の原則を構築すること。
• 条件付き非線形期待値を活用して、このような制御問題の価値関数をセミマルティンゲール分解によって特徴付けること。
• 終状態条件や生成子に関する正則性仮定を一切要求しない第二階のBSDEの適切性を確立すること。
• 支配的測度が存在しない状況においても、ロバストなオプション分解定理を導出することにより、従来の結果を拡張すること。
• 追加の正則性仮定の下で、制御問題の価値関数が適切な経路に依存するPDEの連続的解であることを結びつけること。

提案手法

• BSDE表現を用いて、測度可能選択および貼り合わせ技法を非線形確率的カーネルへ一般化する。
• 条件付き非線形期待値を活用した抽象的枠組みにおける動的計画法の原則の適用。
• セミマルティンゲール分解を用いて、価値関数を局所マルティンゲールと有界変動過程の和として特徴付ける。
• リプシッツ生成子および有界終状態条件を有するBSDEの比較および安定性結果の適用。
• ドーレアン＝ダッド指数関数および伊藤の公式を用いて、上位解に対する比較原理を導出する。
• 事前推定および一様可積分性に依拠して、停止時刻の極限における解の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形BSDEの文脈において、非支配的測度の下での確率的制御に対して、動的計画法の原則を厳密に確立できるか？
• RQ2 このような制御問題の価値関数は、どのようにセミマルティンゲールとして特徴付けられるか？
• RQ3 生成子や終状態条件に正則性仮定を課さない状況で、第二階のBSDEが適切に定義される条件は何か？
• RQ4 支配的測度が存在しない状況において、ロバストなオプション分解を導出できるか？
• RQ5 制御問題の価値関数は、適切な経路に依存するPDEの連続的解であるか？

主な発見

• 非線形カーネルの確率的制御に対して、BSDEによって表現される動的計画法の原則は、非支配的設定下でも成立する。
• 価値関数はセミマルティンゲール分解を有し、最適制御問題の確率的特徴付けを提供する。
• 終状態条件や生成子に関する正則性仮定を一切要求しない第二階のBSDEは、従来の結果を拡張して適切に定義される。
• ロバストなオプション分解が導出され、これにより不確実かつ不完全市場におけるスーパーヘッジ双対性が可能になる。
• 一様連続性および有界性の仮定の下で、価値関数は有界かつ一様連続関数の空間における経路に依存するPDEの唯一の連続的解である。
• 事前推定および比較原理に依拠して、停止時刻の極限における解の収束が、一様可積分性および有界収束定理を用いて確立される。