[論文レビュー] Stochastic convective Brinkman-Forchheimer equations on general Unbounded Domains

Manil T. Mohan, Manil T. Mohan|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2020

Stochastic processes and financial applications参考文献 51被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、無限大領域における乗法的ガウスノイズを伴う確率的対流Brinkman-Forchheimer方程式に対して、パスワイズ一意な強解の存在を、確率的Minty-Browder法とスペクトル近似によるエネルギー等式を用いて確立する。また、大粘性係数のもとで指数的安定性、不変測度のエルゴード性および強い混合性を示し、有界領域における正則性および長時間挙動の結果を無限大領域へ拡張する。

ABSTRACT

The stochastic convective Brinkman-Forchheimer (SCBF) equations in an open connected set $\mathcal{O}\subseteq\mathbb{R}^d$ ($d\in \{2,3,4\}$) or torus are considered in this work. We show the existence of a pathwise unique strong solution (in the probabilistic sense) satisfying the energy equality (Itô formula) to SCBF equations perturbed by multiplicative Gaussian noise. We exploited a monotonicity property of the linear and nonlinear operators as well as a stochastic generalization of the Minty-Browder technique in the proofs. The energy equality is obtained by approximating the solution using approximate functions constituting the elements of eigenspaces of a compact operator in such a way that the approximations are bounded and converge in both Sobolev and Lebesgue spaces simultaneously. We further discuss the global in time regularity results of such strong solutions on the torus. The exponential stability results (in mean square and pathwise sense) for the stationary solutions is also established in this work for large effective viscosity. Moreover, a stabilization result of the stochastic convective Brinkman-Forchheimer equations by using a multiplicative noise is obtained. Finally, when $\mathcal{O}$ is a bounded domain, we establish the existence of a unique invariant measure for the SCBF equations with multiplicative Gaussian noise, which is both ergodic and strongly mixing, using the exponential stability of strong solutions.

研究の動機と目的

• 無限大領域における乗法的ガウスノイズを伴う確率的対流Brinkman-Forchheimer方程式に対して、強解の存在と一意性を確立すること。
• Sobolev空間およびLebesgue空間におけるスペクトル近似を用いて、解のエネルギー等式（伊藤の公式）を厳密に確立すること。
• 有効粘性係数が大きい場合の定常解について、平均二乗およびパスワイズの意味でのグローバル正則性と指数的安定性を分析すること。
• 乗法的ノイズによるシステムの安定化を示し、一意でエルゴード的かつ強く混合する不変測度の存在を証明すること。

提案手法

• 強解の存在と一意性を確立するために、Minty-Browder法の確率的一般化を用いる。
• ストークス作用素の固有関数を用いたスペクトル近似を採用し、Sobolev空間およびLebesgue空間の両方で有界収束を保証する。
• エネルギー推定とGronwall型不等式を適用して、平均二乗およびパスワイズ安定性における指数的減衰を導出する。
• 強解の指数的安定性を鍵的要素として用い、一意な不変測度の存在を証明する。
• Feller性および分布収束を用いて、不変測度のエルゴード性および強い混合性を確立する。
• 確率的設定下での線形および非線形作用素の単調性に依拠し、非線形項を制御し、正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的ノイズを伴う無限大領域における確率的対流Brinkman-Forchheimer方程式に対して、パスワイズ一意な強解が存在するか？
• RQ2 スペクトル近似を用いて、そのような解に対してエネルギー等式（伊藤の公式）を厳密に確立できるか？
• RQ3 システムが平均二乗およびパスワイズの意味で指数的安定性を示す条件は何か？
• RQ4 乗法的ノイズはシステムを安定化させるか？ もしそうならば、どのような粘性係数条件下で成立するか？
• RQ5 確率的システムに対して、一意でエルゴード的かつ強く混合する不変測度が存在するか？

主な発見

• 乗法的ノイズを伴う無限大領域における確率的対流Brinkman-Forchheimer方程式に対して、パスワイズ一意な強解が存在し、エネルギー等式を満たす。
• 有効粘性係数が $\mu > \frac{2\eta + L}{\lambda_1}$ を満たすとき、解は平均二乗およびパスワイズの両方で指数的安定性を示す。
• 乗法的ノイズによってシステムは安定化され、不変測度は一意的で、エルゴード的かつ強く混合的である。
• $r > 3$ のとき、条件 $\mu > \frac{L}{\lambda_1}$ の下で不変測度は存在し、一意的であり、指数的混合性を示す。
• 周期的領域において、強解のグローバル正則性が確立され、既知の結果が無限大領域へ拡張される。
• 不変測度への収束 $\mathrm{P}_t\varphi(\mathbf{u}_0)$ は指数的速さで発生し、強い混合性が確認される。