[論文レビュー] Stochastic De Giorgi Iteration and Regularity of Stochastic Partial Differential Equation

Elton P. Hsu, Yu Wang+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、逐次可測で一様強線形性を満たす拡散係数とリプシッツ型のドラフトおよび拡散項をもつ半線形確率的放物型PDEの解のほとんど確実なホルダー連続性を、デ・ジョルジ反復法の新しい確率的応用によって確立する。主な結果は、係数に連続性の仮定がなくても、解が空間的・時間的にほとんど確実にホルダー連続であり、すべてのモーメントが有限であるということである。

ABSTRACT

Under general conditions we show that the solution of a stochastic parabolic partial differential equation of the form \[ \partial_t u = \mathrm{div} (A abla u) + f(t,x, u) + g_i (t,x,u) \dot{w}^i_t \] is almost surely Hölder continuous in both space and time variables.

研究の動機と目的

• 非滑らかで逐次可測な係数をもつ半線形確率的放物型PDEの解のホルダー正則性を確立すること。
• 拡散係数、ドラフト係数、ノイズ係数の連続性を仮定しない条件下で、デ・ジョルジ＝ナッシュ＝モーザー理論を確率的設定に拡張すること。
• 一般の成長および強線形性条件の下で、解のホルダーノルムのモーメント推定を行うこと。
• PDEエネルギー推定と確率解析技法を組み合わせた、デ・ジョルジ反復法の確率的バージョンを開発すること。

提案手法

• 時間空間の収縮するシリンダ上での解の$L^\rho$ノルムを制御するため、デ・ジョルジ反復法の確率的適応を導入する。
• ギルサノフの定理による測度変換を用いて確率積分項を制御し、解の$L^\rho$ノルムのモーメント上限を導出する。
• ノヴィコフの条件を適用して指数マルティンゲールが適切に定義されることを保証し、一般の拡散係数条件の下でのモーメント推定を可能にする。
• 解を確率的熱方程式成分と残差に分解し、後者に決定的正則性理論を適用する。
• 非確率的PDEのクリロフの$W^{2,p}$理論およびリーリマンの正則性結果を用いて、残差のホルダー連続性を確立する。
• 確率的成分のモーメント推定と決定的残差の結果を組み合わせ、すべてのモーメントが有限であるホルダー正則性の最終的結果を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 逐次可測で一様強線形性を満たす拡散係数のみをもつ半線形SPDEの解について、ホルダー正則性を確立できるか？
• RQ2 係数の正則性仮定を最小限に抑えた条件下で、デ・ジョルジ反復法の技法が確率的PDEに拡張可能か？
• RQ3 係数$A$, $f$, または$g$の連続性を仮定しない条件下でも、解の$L^\rho$ノルムのモーメント推定が可能か？
• RQ4 $L^2$初期データと線形成長条件のみを仮定した場合、解が空間的・時間的にほとんど確実にホルダー連続となるか？
• RQ5 確率的および決定的正則性理論をどのように組み合わせて、解のホルダーノルムのモーメントバウンドを導出できるか？

主な発見

• 任意の$T > 0$に対して、解$u$は$[T, 2T] \times \mathbb{R}^n$上でほとんど確実にホルダー連続であり、指数は$\alpha = \alpha(n, \lambda, \Lambda)$である。
• 任意の$p > 0$に対して、ホルダー半ノルム$\|u\|_{C^\alpha([T,2T] \times \mathbb{R}^n)}$の$p$次モーメントは、$\|u_0\|_{L^2}$, $\|K\|_{L^2}$, および$\|K\|_{L^\infty}$に依存する定数によって上から抑えられる。
• すべての$p > 0$に対して、$\mathbb{E} \int_0^{2T} \|u(t)\|_2^p dt + \mathbb{E} \|u\|_{\infty,[T,2T] \times \mathbb{R}^n}^p \leq C(\|u_0\|_2 + \|K\|_2 + \|K\|_\infty)^p$が成り立つ。
• 確率的デ・ジョルジ反復法は、解のesssupノルムの尾確率を効果的に制御でき、これによりモーメントバウンドの導出が可能である。
• 係数$A$, $f$, および$g$が連続でない場合でも本手法が適用可能であり、古典的仮定を越えた正則性結果が拡張される。
• $u = \phi + v$という分解、ここで$v$は確率的熱方程式を満たし、$\phi$は決定的PDEを満たす、により決定的正則性理論を適用でき、ホルダー連続性が結論づけられる。