[論文レビュー] Stochastic differential equation with jumps for multi-type continuous state and continuous time branching processes with immigration

Mátyás Barczy, Zenghu Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 16被引用数 43

ひとこと要約

本稿では、移民を伴う一般の多型連続状態・連続時間の分岐過程（CBI）が、跳躍を伴う確率微分方程式（SDE）のパスワイズ一意な強い解として表現可能であることを確立している。モーメント条件のもとで、SDEはブラウン運動、ポアソン確率測度、および補正された跳躍測度を含み、CBI過程を拡散、ドリフト、および跳躍成分によって駆動される解として特定している。

ABSTRACT

A multi-type continuous state and continuous time branching process with immigration satisfying some moment conditions is identified as a pathwise unique strong solution of certain stochastic differential equation with jumps.

研究の動機と目的

• 移民を伴う多型連続状態・連続時間の分岐過程（CBI）を、跳躍を伴う確率微分方程式（SDE）によって特徴づけること。
• モーメント条件の下で、提示されたSDEの弱解の存在と一意性を確立すること。
• SDEのパスワイズ一意性および強い解の存在を証明し、それを直接的にCBI過程に関連付けること。
• 単一型および二型CBI過程に関する先行結果を、一般の移民を伴う多型ケースに一般化すること。
• 表現定理を用いて、CBI過程を連続局所 martingale 項、純粋に不連続な局所 martingale 項、およびドリフト項の和として表現すること。

提案手法

• 移民超過程を局所 martingale 項とドリフト項の和として表現することにより、一般の多型CBI過程の跳躍を伴うSDEを導出する。
• 純粋に不連続な局所 martingale 項を、確率測度 $ \widetilde{N}_0 $ の補正を用いて表現する。
• 右連続 martingale の表現定理を用いて、跳躍積分をポアソン測度および補正されたポアソン測度で書き直す。
• Li [13, Proposition 9.11] から導かれたCBI過程の一次モーメントの公式を適用し、ドリフト項および跳躍項を特定する。
• モーメント条件とSDEの構造を用いて、$[0,\infty)^d$ 値の弱解の間で弱解の一意性（法則の意味での一意性）を証明する。
• Ma [14] が用いた手法を拡張し、比較定理を適用してSDEのパスワイズ一意性および強い解の存在を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の多型CBI過程（移民を伴う）は、モーメント条件の下で、跳躍を伴うSDEのパスワイズ一意な強い解として表現可能か？
• RQ2 CBI過程の跳躍成分は、ポアソン測度および補正されたポアソン測度を用いてどのように分解可能か？
• RQ3 弱解および強い解の存在と一意性を保証するためのモーメント条件は何か？
• RQ4 SDEの表現は、CBI過程の無限小生成作用素および半群構造とどのように関連しているか？
• RQ5 SDEは、単一型および二型CBI過程に関する先行結果をどのように一般化しているか？

主な発見

• モーメント条件の下で、CBI過程は特定の跳躍を伴うSDEのパスワイズ一意な強い解として同定される。
• SDEにはブラウン運動項、ドリフト項、および $ (0,\infty) \times ([0,\infty)^d \setminus \{\mathbf{0}\}) $ 上の確率測度によって駆動される補正された跳躍積分が含まれる。
• SDEの任意の $[0,\infty)^d$ 値の弱解はCBI過程であることが示され、SDEとCBI過程のクラスとの間の同値性が確立される。
• CBI過程の一次モーメントは、Li [13, Proposition 9.11] から導かれた公式により特徴づけられ、SDEの導出に不可欠である。
• SDEのパスワイズ一意性は、$[0,\infty)^d$ 値の弱解の間で成立し、パスワイズ一意な強い解の存在を可能にする。
• 本結果は、Ma [14] が特殊な二型CBI過程について行った研究を、一般の移民を伴う完全な多型ケースに一般化している。