[論文レビュー] Stochastic differential equations with non-lipschitz coefficients: I. Pathwise uniqueness and large deviation

Shizan Fang, Tusheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2003

Stochastic processes and financial applications参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、対数 Hölder 型の条件を満たす非リプシッツ係数をもつ確率微分方程式（SDE）に対して、経路的一意性およびフリードリン＝ヴェントセル型の大偏差原理を確立する。非リプシッツ設定におけるグロワールの補題の破綻を克服するため、家族 $(\Phi_\rho)$ の補助関数を構築することで、強解の存在および大偏差解析に不可欠な指数型モーメント推定が、有界および無限大係数の両ケースにおいて可能となる。

ABSTRACT

We study a class of stochastic differential equations with non-Lipschitzian coefficients.A unique strong solution is obtained and a large deviation principle of Freidln-Wentzell type has been established.

研究の動機と目的

• ドリフトおよび拡散係数が対数 Hölder 条件を満たす場合に、SDE に対して経路的一意性を確立すること。これは古典的なリプシッツ仮定を弱めるものである。
• 係数に $|x|\log|x|$ の成長条件が成り立つ場合に、解の爆発が生じないことを証明すること。
• 非リプシッツ係数をもつ SDE の小ノイズ極限に対して、フリードリン＝ヴェントセル型の大偏差原理を導出すること。
• 指数型モーメント推定を活用して、Euler スキームによる一意的強解の近似が可能であることを示すこと。

提案手法

• 非リプシッツ条件下でグロワール型不等式の適用が可能になるように、正で単調増加な関数族 $(\Phi_\rho)_{\rho>0}$ を導入し、伊藤過程を再重み付けする。
• 関数 $\psi(\xi) = \int_0^\xi \frac{ds}{s r(s) + 1}$ および $\Phi(\xi) = e^{\psi(\xi)}$ を用いて、$|X_t|^2$ の成長を制御し、$|x|\log|x|$ の成長条件下での爆発防止を証明する。
• 問題を局所化し、コンパクト集合上で大偏差技法を適用するために、係数 $b_R, \sigma_R$ が有界であるような SDE の切断版を構築する。
• 同じ関数族 $\Phi_{\rho,\lambda}$ を用いて、非リプシッツ領域における標準的モーメント推定の失敗を克服し、Euler 近似の指数型モーメント推定を証明する。
• 縮小原理を用いて大偏差原理を確立し、解の分布が良いレート関数 $I(f)$ をもつフリードリン＝ヴェントセル LDP を満たすことを示す。
• レート関数のレベル集合に対してコンパクト性および連続性の議論を用いて、$I(\cdot)$ が良いレート関数（コンパクトなレベル集合）であることを証明し、無限大係数の場合に LDP が成り立つことを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 係数が標準的なリプシッツ条件ではなく、対数 Hölder 条件を満たす場合に、SDE に対して経路的一意性が成立するか？
• RQ2 非リプシッツ連続性のためピカール反復が失敗するにもかかわらず、このような SDE に対して強解を構成できるか？
• RQ3 非リプシッツ係数をもつ SDE に対して、フリードリン＝ヴェントセル型の大偏差原理が成り立つのか、特に小ノイズ極限においては？
• RQ4 これらの緩い係数条件のもとで、Euler スキームが真の解へ指数的速さで収束することが示せるか？
• RQ5 無限大係数の場合に、SDE の大偏差原理のレート関数が適切に定義されており、良い（コンパクトなレベル集合をもつ）ものであるか？

主な発見

• 対数 Hölder 条件 (H.1) を満たす SDE に対して、補助関数族 $\Phi_\rho$ を用いることで、グロワール型推定が回復され、リプシッツでない場合でも経路的一意性が成立する。
• 成長条件 $|x|\log|x|$ の下で解の爆発が保証され、これは $r(s) = \log s$ を用いたリャプノフ型関数 $\Phi(\xi) = \exp\left(\int_0^\xi \frac{ds}{s r(s) + 1}\right)$ を用いて証明される。
• 小ノイズ SDE $dX^\varepsilon(t) = \varepsilon^{1/2} \sigma(X^\varepsilon(t)) dW_t + b(X^\varepsilon(t)) dt$ に対して、良いレート関数 $I(f)$ をもつフリードリン＝ヴェントセル型の大偏差原理が成立する。この $I(f)$ はスケルトン方程式を用いて定義される。
• レベル集合 $\{f : I(f) \leq \alpha\}$ がすべての $\alpha \geq 0$ に対してコンパクトであることを、局所化および解写像の連続性を用いて証明することで、$I(f)$ が良いレート関数であることが示される。
• 大偏差原理を有界係数から無限大係数へ拡張するために、$\mu_\varepsilon(C) \leq \mu_\varepsilon^R(C_R) + P(\sup_t |X^\varepsilon(t)| > R)$ を示し、$R \to \infty$ とすることで、指数的尾部推定を活用する。
• 一意的強解は、Euler 近似の極限として得られ、与えられた非リプシッツ条件下で $L^1$ 意味で指数的速さで収束することが示される。