[論文レビュー] Stochastic differential equations with Sobolev diffusion and singular drift

Xicheng Zhang|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、Sobolev型拡散係数と特異な勾配を持つ確率微分方程式（SDE）の解の存在、一意性、正則性を確立する。解の弱微分可能性とMalliavin微分可能性を証明し、Bismut-Elworthy-Li型の公式を導出する。これらの結果を応用して、$p>d$ に対して $\mathbb{W}^{1}_{p}(\mathbb{R}^{d};\mathbb{R}^{d})$ における非圧縮性ナビエ-ストークス方程式の局所的well-posednessを証明する。主な貢献は、勾配および拡散係数の最小限の可積分性条件下での微分可能性および安定性の結果の拡張である。

ABSTRACT

In this paper we study properties of solutions to stochastic differential equations with Sobolev diffusion coefficients and singular drifts. The properties we study include stability with respect to the coefficients, weak differentiability with respect to starting points, and the Malliavin differentiability with respect to sample paths. We also establish Bismut-Elworthy-Li's formula for the solutions. As an application, we use the stochastic Lagrangian representation of incompressible Navier-Stokes equations given by Constantin-Iyer \cite{Co-Iy} to prove the local well-posedness of NSEs in $\mR^d$ with initial values in the first order Sobolev space $\mW^1_p(\mR^d;\mR^d)$ provided $p>d$.

研究の動機と目的

• Sobolev型係数を有するSDEの強解の存在および一意性を、最小限の可積分性条件下で確立すること。
• 初期条件に関する解の弱微分可能性およびサンプルパスに関するMalliavin微分可能性を調査すること。
• 解の期待値の勾配に対するBismut-Elworthy-Li型の導出公式を導出すること。
• SDEの正則性結果を応用して、$p>d$ に対して $\mathbb{W}^{1}_p(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$ における非圧縮性ナビエ-ストークス方程式の局所的well-posednessを証明すること。
• 勾配および拡散係数の摂動に対するSDEの安定性および正則性結果を拡張すること。

提案手法

• 特異な勾配を扱うために、Zvonkinの変換とKrylovの推定を用い、$L^q_tL^p_x$ における $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$ を満たす場合に適用する。
• SDEの強解の存在および一意性を証明するために、Girsanov変換とPDE理論を適用し、拡散および勾配にSobolev型の条件を課す。
• Malliavin微分可能性を確立するために、Malliavin微分法の技法を用い、解写像のサンプルパスに関するMalliavin微分可能性を示す。
• 解の流れの連続性および微分可能性の性質を用いて、Bismut-Elworthy-Li公式を導出する。
• 解の流れを介して定義される非線形作用素 $\mathbb{T}$ に対する不動点議論を用いて、ナビエ-ストークス方程式の局所的well-posednessを証明する。
• 最大 $L^p$-正則性推定と最大関数の境界を用いて、解のヤコビアンおよびその導関数の成長を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配 $b$ および拡散 $\sigma$ がどのような条件下で、Sobolev型係数を有するSDEが一意な強解を有するか。
• RQ2 初期条件に関して、解の流れ $X_{t,s}(x)$ は弱微分可能か。
• RQ3 解写像 $X_{t,s}(x)$ はブラウン運動のパスに関してMalliavin微分可能か。また、Malliavin微分の可積分性はどのようなものか。
• RQ4 特異な勾配および拡散係数のもとで、解の期待値の勾配に対するBismut-Elworthy-Li型の公式を導出可能か。
• RQ5 SDEの正則性および安定性結果は、$p>d$ に対して $\mathbb{W}^{1}_p(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$ における非圧縮性ナビエ-ストークス方程式の局所的well-posednessの証明に応用可能か。

主な発見

• $b \in L^q([T,S]; L^p(\mathbb{R}^d))$ かつ $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 1$、$\sigma$ が一様に強調的かつH\
• 解の流れ $X_{t,s}(x)$ はほとんどすべての $\omega$ に対して $x$ に関して弱微分可能であり、ヤコビアン $\nabla X_{t,s}(x)$ は一様なモーメントバインディングを満たす：任意の $p' \geq 1$ に対して $\mathrm{ess.\, sup}_{x\in\mathbb{R}^d} \mathbb{E}\left(\sup_{s\in[t,S]}|\nabla X_{t,s}(x)|^{p'}\right) \leq C$。
• 解はMalliavin微分可能であり、Malliavin微分は $\sup_{x\in\mathbb{R}^d} \mathbb{E}\left(\sup_{s\in[t,S]}\|DX_{t,s}(x)\|_\mathbb{H}^{p'}\right) < \infty$ を満たす。任意の $p' \geq 1$ に対して。
• Bismut-Elworthy-Li公式が導出される： $\nabla \mathbb{E} f(X_{t,s}(x)) = \frac{1}{s-t} \mathbb{E}\left(f(X_{t,s}(x)) \int_t^s \sigma^{-1}_r(X_{t,r}(x)) \nabla X_{t,r}(x) \, dW_r\right)$。
• SDEの結果を応用して、$\mathbb{R}^d$ における非圧縮性ナビエ-ストークス方程式が、$p>d$ に対して $\mathbb{W}^{1}_p(\mathbb{R}^d;\mathbb{R}^d)$ における初期データを有する場合に局所的well-posedであることを証明する。Stochastic Lagrangian representationを用いる。
• 勾配の摂動に対する解写像の安定性が確立される：$\|\mathbb{T}(b) - \mathbb{T}(b')\|_{L^p} \leq \frac{1}{2}\|b - b'\|_{\mathbb{L}^\infty_p(T_1,0)}$ が、十分に小さい時間区間 $[T_1,0]$ に対して成り立つ。