[論文レビュー] Stochastic Discontinuous Galerkin Methods with Low--Rank Solvers for Convection Diffusion Equations

Pelin Çi̇loğlu, Hamdullah Yücel|arXiv (Cornell University)|Nov 4, 2020

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 50被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、確率的係数を有する対流拡散方程式を効率的に解くために、確率的ガレルキン法と低ランクKrylovソルバーを組み合わせた確率的非連続ガレルキン法を提案する。確率的ガレルキン法を用いて問題を確定的方程式系に変換し、システム行列に対して低ランク近似を適用することで、特に対流支配型問題においても精度を維持しつつ、ストレージと計算コストを顕著に削減する。

ABSTRACT

We investigate numerical behaviour of a convection diffusion equation with random coefficients by approximating statistical moments of the solution. Stochastic Galerkin approach, turning the original stochastic problem to a system of deterministic convection diffusion equations, is used to handle the stochastic domain in this study, whereas discontinuous Galerkin method is used to discretize spatial domain due to its local mass conservativity. A priori error estimates of the stationary problem and stability estimate of the unsteady model problem are derived in the energy norm. To address the curse of dimensionality of Stochastic Galerkin method, we take advantage of the low--rank Krylov subspace methods, which reduce both the storage requirements and the computational complexity by exploiting a Kronecker--product structure of system matrices. The efficiency of the proposed methodology is illustrated by numerical experiments on the benchmark problems.

研究の動機と目的

• 確率的係数を有する対流拡散方程式に対する確率的ガレルキン法における次元の呪いを解消すること。
• 確率的ガレルキン、非連続ガレルキン、および低ランクKrylovソルバーを統合した数値フレームワークを構築すること。
• 定常問題におけるエネルギーノルムでの事前誤差推定を提供すること。
• 非定常問題における安定性の推定を提供すること。
• 低ランクソルバーがメモリとCPU時間を効果的に削減しつつ、解の精度を維持できることを実証すること。

提案手法

• 確率的ガレルキン法を適用して、確率的対流拡散PDEを確定的対流拡散方程式の結合系に変換する。
• 空間離散化に非連続ガレルキン法を用い、特に対流支配型領域において局所的質量保存と安定性を確保する。
• ランダム係数を無相関確率変数の有限集合で表現するためにカルフンエン＝ローヴェ展開を用いる。
• 確率的ガレルキン定式化から生じる大規模線形方程式系を解くために、低ランクKrylov部分空間法（例：LRPCG、LRPBiCGstab、LRPGMRES）を活用する。
• システム行列のクロネッカー積構造を活用して、ストレージと計算複雑性を低減する。
• 収束を加速するために、平均に基づく（P₀）およびウルマンに基づく（P₁）プリコンディショナを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 低ランクKrylovソルバー戦略は、確率的ガレルキン離散化における次元の呪いをどのように緩和するか？
• RQ2 相関長が低ランク解およびソルバー性能に与える影響は何か？
• RQ3 異なるKrylovソルバー（例：CG、BiCGstab、GMRES）が低ランク形式で適用された場合、収束性と計算コストにおいてどのように比較されるか？
• RQ4 提案手法は、確率的係数を有する定常および非定常対流拡散問題において、最適収束率と安定性を達成できるか？
• RQ5 平均に基づくおよびウルマンに基づくプリコンディショナは、低ランク反復ソルバーの収束をどの程度効果的に加速できるか？

主な発見

• LRPGMRESソルバーは、他の低ランクKrylovソルバーと比較して優れた性能を示し、特に対流支配型問題において顕著である。
• 相関長 ℓ = 1.5 および N = 17 の場合、低ランクLRPCG法はCPU時間20,658.3秒、メモリ1,821 KBを要したが、フルランクPCGは41,345.0秒および54,720 KBを要した。
• ウルマンプリコンディショナ（P₁）は平均に基づくプリコンディショナ（P₀）と比較してCPU時間を顕著に短縮した。ℓ = 1.5 の場合、LRPCGはP₀で20,658.3秒、P₁で18,214.5秒を要した。
• 相関長にかかわらず反復回数は安定して4～5回であったが、相関長が短くなるとランク要件が高くなるため、CPU時間とメモリ使用量が増加した。
• 低ランクソルバーの相対残差は3e-4未満を維持しており、低ランク近似にもかかわらず良好な精度が得られていることを示している。
• 相関長 ℓ = 3, 2, 1.5 に対してそれぞれN = 9, 13, 17の切断パラメータを用いることで、97%以上の分散を捉えることができ、切断戦略の妥当性が検証された。