[論文レビュー] Stochastic ep load balancing and moment problems via the L-function method

Marco Molinaro|arXiv (Cornell University)|Jan 6, 2019

Advanced Queuing Theory Analysis被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、p-ノルム目的関数を伴う確率的ロードバランシング問題に対して、L関数法の新規応用を提示し、Stochastic ep Load Balancing Problem (StochLoadBalp) に対して定数倍近似を達成した。これは、従来の O(p/ln p)-近似を著しく改善するものである。この手法により、確率変数のp乗モーメントを分離可能で周辺分布に基づく形でモデル化でき、指数関数的に多くの制約を含むにもかかわらず、効率的な凸緩和と丸めが可能となる。

ABSTRACT

This paper considers stochastic optimization problems whose objective functions involve powers of random variables. For a concrete example, consider the classic Stochasticep Load Balancing Problem (StochLoadBalp): There are m machines and n jobs, and we are given independent random variables Yij describing the distribution of the load incurred on machine i if we assign job j to it. The goal is to assign each job to the machines in order to minimize the expected ep-norm of the total load incurred over the machines. That is, letting Ji denote the jobs assigned to machine i, we want to minimize E(∑i(∑j ∈ JiYij)p)1 / p. While convex relaxations represent one of the most powerful algorithmic tools, in problems such as StochLoadBalp the main difficulty is to capture such objective function in a way that only depends on each random variable separately.In this paper, show how to capture p-power-type objectives in such separable way by using the L-function method. This method was precisely introduced by Latala to capture in a sharp way the moment of sums of random variables through the individual marginals. We first show how this quickly leads to a constant-factor approximation for very general subset selection problem with p-moment objective.Moreover, we give a constant-factor approximation for StochLoadBalp, improving on the recent O(p/ln p)-approximation of [Gupta et al., SODA 18]. Here the application of the method is much more involved. In particular, we need to prove structural results connecting the expected ep-norm of a random vector with the p-moments of its coordinate-marginals (machine loads) in a sharp way, taking into account simultaneously the different scales of the loads that are incurred in the different machines by an unknown assignment. Moreover, our starting convex (indeed linear) relaxation has exponentially many constraints that are not conducive to integral rounding; we need to use the solution of this LP to obtain a reduced LP which can then be used to obtain the desired assignment.

研究の動機と目的

• 確率的ロードバランシングにおいて、ランダムなジョブ割り当てのもとでマシン負荷の期待p-ノルムを最小化する課題に対処すること。
• 個々の確率変数の周辺分布のみを用いて、p-乗型目的関数を分離可能に捉える手法を開発すること。
• StochLoadBalpに対する従来の O(p/ln p)-近似を上回り、定数倍近似を達成すること。
• 指数関数的に多くの制約を扱えるように、構造的LP還元を用いた凸緩和フレームワークを設計すること。
• さまざまな負荷スケールを考慮した上で、確率的ベクトルの期待p-ノルムとその座標周辺分布のp-モーメントとの間の鋭い関係を確立すること。

提案手法

• Latalaが当初開発したL関数法を活用し、和の確率変数のモーメントを、周辺分布のみを用いて正確に推定する。
• この手法を用いて、p-乗目的関数を分離可能な形でモデル化し、マシンおよびジョブ割り当てごとに分解可能にする。
• 全負荷の期待p-ノルムと個々のマシン負荷周辺分布のp-モーメントを結ぶ構造的不等式を導出する。
• 割り当て問題をモデル化するため、指数関数的多くの制約を含む初期線形計画問題を構築する。
• 元の問題の解を用いて、元の問題を縮小し、取り扱い可能なサイズの小さな線形計画問題に還元する。これにより、効果的な丸めと割り当てが可能となる。
• 縮小された線形計画問題を用いて、StochLoadBalpに対する定数倍近似アルゴリズムを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 L関数法は、p-ノルム目的関数を伴う確率的ロードバランシングに対して、定数倍近似を達成できるように適応可能か？
• RQ2 マシン負荷のp-モーメントは、スケールに依存しない鋭い方法で、全負荷ベクトルの期待p-ノルムとどのように関連づけられるか？
• RQ3 負荷分布のどのような構造的性質が、指数的制約数を有しながらも近似保証を維持する削減されたLP定式化を可能にするか？
• RQ4 StochLoadBalpに対して、従来の O(p/ln p) の境界を超える定数倍近似を達成することは可能か？
• RQ5 p-乗目的関数を分離可能で周辺分布に基づく制約で捉えるために、どのように凸緩和を設計できるか？

主な発見

• 本稿は、Stochastic ep Load Balancing Problem に対して、従来の O(p/ln p)-近似を上回る定数倍近似を達成した。
• L関数法により、個々の確率変数の周辺分布のみを用いて、p-乗目的関数を鋭く分離可能に特徴づけることが可能となった。
• 確率的ベクトルの期待p-ノルムとその座標周辺分布のp-モーメントとの間の構造的結果が、さまざまな負荷スケールを考慮して証明された。
• 初期の指数的サイズの線形計画問題から、取り扱い可能なサイズの小さな線形計画問題が構築され、近似保証を維持したまま効率的な丸めと割り当てが可能となった。
• スケールに依存しないモーメント不等式を活用することで、マシン間の割り当てスケールが未知であるという課題に対しても、効果的に対処できた。
• このアプローチは、確率的最適化における複雑なp-ノルム目的関数が、周辺ベースの凸緩和によって効果的に捉えられ、近似可能であることを示した。