[論文レビュー] Stochastic equation and exponential ergodicity in Wasserstein distances for affine processes

Martin Friesen, Peng Jin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 17, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 54被引用数 21

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される確率微分方程式の強い解として、標準的状態空間 $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 上の保存的アフィン過程の経路的構成を確立する。さらに、跳躍測度のモーメントおよび対数モーメント条件の下でウォッサーシュタイン距離における指数的エルゴード性を証明し、状態依存および状態非依存の跳躍を有する一般アフィン過程に対する初めての結果を提供する。

ABSTRACT

This work is devoted to the study of conservative affine processes on the canonical state space $D = $R_+^m imes \R^n$, where $m + n > 0$. We show that each affine process can be obtained as the pathwise unique strong solution to a stochastic equation driven by Brownian motions and Poisson random measures. Then we study the long-time behavior of affine processes, i.e., we show that under first moment condition on the state-dependent and log-moment conditions on the state-independent jump measures, respectively, each subcritical affine process is exponentially ergodic in a suitably chosen Wasserstein distance. Moments of affine processes are studied as well.

研究の動機と目的

• 保存的アフィン過程を確率微分方程式の経路的一意な強い解として構成すること。
• ウォッサーシュタイン距離におけるエルゴード性を用いてアフィン過程の長期的挙動を分析すること。
• 指数的エルゴード性を保証する十分条件——特に第一モーメントおよび対数モーメント条件——を跳躍測度に対して導出すること。
• これらの条件下でのアフィン過程のモーメントおよび不変分布を特徴付けること。
• 既存のエルゴード性に関する結果を、状態依存および状態非依存の両方の跳躍を有する一般アフィン過程に拡張すること。

提案手法

• ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される確率微分方程式の唯一の強い解としてアフィン過程を構成する。
• 一般化されたリッカティ方程式を用いて、過程の特性関数および生成作用素を特徴付ける。
• カップリング技法およびリャプノフ関数を用いて、ウォッサーシュタイン距離におけるエルゴード性を分析する。
• カントロヴィッチ双対性および凸性推定を用いて、ウォッサーシュタイン距離の収束速度を評価する。
• ドリフトおよび跳躍成分を制御するための2つのリャプノフ関数を導入する：$V_1(x) = (1 + |x|^2)^{\kappa/2}$ および $V_2(x) = \log(1 + |x|^2)$。
• 有限モーメントおよびエルゴード性を保証するため、$\nu$ および $\mu_i$ にモーメント条件を課す（例：$\int_{|\xi|>1} (1 + |\xi| + |\xi|^\kappa) \nu(d\xi) < \infty$）。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 上の保存的アフィン過程は、ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される確率微分方程式の経路的一意な強い解として表現可能か？
• RQ2 跳躍測度にどのような条件下で、サブクリティカルなアフィン過程がウォッサーシュタイン距離で指数的エルゴード性を示すか？
• RQ3 状態依存および状態非依存の跳躍成分は、アフィン過程の長期的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ4 不変分布への収束速度を定量化するためにどのようなリャプノフ関数が利用可能か？
• RQ5 カップリングおよび双対性技法を用いて、遷移核間のウォッサーシュタイン距離を有界化できるか？

主な発見

• $\mathbb{R}^m_+ \times \mathbb{R}^n$ 上のアフィン過程が、ブラウン運動およびポアソン確率測度によって駆動される確率微分方程式の経路的一意な強い解として示された。
• 跳躍測度に第一モーメントおよび対数モーメント条件が課された場合、サブクリティカルなアフィン過程はウォッサーシュタイン距離 $d_\kappa$ や $d_{\log}$ で指数的エルゴード性を示す。
• 収束速度は、ドリフトおよび跳躍成分を制御するリャプノフ関数 $V_1(x) = (1 + |x|^2)^{\kappa/2}$ および $V_2(x) = \log(1 + |x|^2)$ を用いて定量化された。
• 本稿では、ある $\lambda > 0$ に対して $\mathcal{W}_d(P_t(x, \cdot), \pi) \leq C e^{-\lambda t}$ を証明し、指数的エルゴード性を確立した。
• 結果は、CBI型およびOU型プロセスを含む、状態依存および状態非依存の両方の跳躍を有する一般アフィン過程に拡張可能である。
• ウォッサーシュタイン距離間の遷移核の有界性を保証するため、カントロヴィッチ双対性および凸性推定を用いた分析により、長期挙動解析のための強固な枠組みが提供された。