[論文レビュー] Stochastic equations with delay: optimal control via BSDEs and regular solutions of Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Marco Fuhrman, Federica Masiero+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 11, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、遅れ付き確率微分方程式（SDDE）の最適制御および価格設定問題を解くために、状態過程を連続関数空間上のマルコフ過程に再定式化することにより、後向き確率微分方程式（BSDE）アプローチを開発する。主な貢献は、経路空間上での弱解を用いたハミルトニアン・ジョルダン・ベルマン（HJB）方程式による価値関数およびヘッジ戦略の特徴付けであり、記憶依存系へのブラック・ショールズ枠組みの一般化を実現する。

ABSTRACT

We consider an Ito stochastic differential equation with delay, driven by brownian motion, whose solution, by an appropriate reformulation, defines a Markov process $X$ with values in a space of continuous functions $\mathbf C$, with generator $\mathcal L$. We then consider a backward stochastic differential equation depending on $X$, with unknown processes $(Y,Z)$, and we study properties of the resulting system, in particular we identify the process $Z$ as a deterministic functional of $X$. We next prove that the forward-backward system provides a suitable solution to a class of parabolic partial differential equations on the space $\mathbf C$ driven by $\mathcal L$, and we apply this result to prove a characterization of the fair price and the hedging strategy for a financial market with memory effects. We also include applications to optimal stochastic control of differential equation with delay: in particular we characterize optimal controls as feedback laws in terms the process $X$.

研究の動機と目的

• 遅れ付き確率微分方程式（SDDE）の最適確率的制御問題を、遅れ付き状態過程のマルコフ性を活用して取り扱う。
• 制御問題の価値関数を連続経路空間上でのハミルトニアン・ジョルダン・ベルマン（HJB）方程式の解として特徴付ける。
• 特に経路空間を含む無限次元状態空間へBSDE法を拡張し、遅れ過程の生成作用素によって駆動される放物型PDEを解く。
• 金融市場における記憶効果を応用し、公平なオプション価格およびヘッジ戦略の特徴付けを提供する。

提案手法

• SDDEを、連続関数空間 $\mathbf{C} = C([-r,0]; \mathbb{R}^n)$ 値のマルコフ過程 $X_t$ として再定式化し、経路空間上の拡散過程の適用を可能にする。
• 前向きSDDEと後向き方程式 $(Y,Z)$ を結合する前向き後向き確率微分方程式系（FBSDE）を構築し、$Y_t = v(t,X_t)$ および $Z_t = \nabla_0 v(t,X_t)\sigma(t,X_t)$ を満たす。
• BSDE理論を用いて、解 $v(t,x)$ が $\mathbf{C}$ 上で半線形放物型PDE $\partial_t v + \mathcal{L}v = \psi(t,x,v,\nabla_0 v \sigma)$ を満たすことを示し、終端条件 $v(T,x) = \phi(x)$ を満たす。
• 制御問題とHJB方程式を結びつけるために、$\psi(t,x,z) = \inf_u \{ g(u) + z h(t,x,u) \}$ を定義する。
• Girsanovの定理を用いてリスク中立測度を導入し、動的を新しい測度のもとでマルティンググであるように変換することで、記憶効果を有する金融モデルにフレームワークを適用する。
• 公平価格 $V_0 = v(0,s)$ およびヘッジ戦略 $\pi_t = \nabla_0 v(t,S_{t+\cdot})$ が、HJB方程式 $\partial_t v + \mathcal{L}v = r v$、$v(T,x) = \phi(x)$ の解 $v$ によって一意に定まることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅れ付き確率微分方程式（SDDE）の最適制御問題は、後向き確率微分方程式（BSDE）を用いてどのように特徴付けられるか。
• RQ2 経路空間上での前向き後向き系の解と、無限次元設定におけるハミルトニアン・ジョルダン・ベルマン（HJB）方程式の解との間にはどのような関係があるか。
• RQ3 記憶効果を有する金融市場において、BSDEおよびHJBフレームワークを用いて、継続的クレームの公平価格およびヘッジ戦略をどのように導出できるか。
• RQ4 連続経路空間上でのHJB方程式の弱解の存在および一意性を保証する条件は何か。
• RQ5 このフレームワークを用いて、古典的ブラック・ショールズ方程式を経路依存（記憶）効果を含む形に一般化できるか。

主な発見

• 最適制御問題の価値関数 $v(t,x)$ は、制御行動の下界による定義である $\psi$ を用いたHJB方程式 $\partial_t v + \mathcal{L}v = \psi(t,x,v,\nabla_0 v \sigma)$ と一致する。終端条件は $v(T,x) = \phi(x)$ を満たす。
• BSDEにおける過程 $Z_t$ は $Z_t = \nabla_0 v(t,X_t)\sigma(t,X_t)$ として特定され、制御が現在の経路 $X_t$ の関数としてフィードバック則として表現できることを示す。
• 継続的クレーム $\phi(S_{T+\cdot})$ の公平価格は、$V_0 = v(0,s)$ で与えられ、ここで $v$ はリスク中立測度のもとでHJB方程式 $\partial_t v + \mathcal{L}v = r v$、$v(T,x) = \phi(x)$ の解である。
• ヘッジ戦略は $\pi_t = \nabla_0 v(t,S_{t+\cdot})$ として特徴付けられ、これは基礎資産の現在の経路の関数である。
• 解 $v$ がHJB方程式の弱解であることが示され、係数の適切な正則性および有界性条件のもとで適切に定義されていることが保証される。
• 本フレームワークにより、経路依存ダイナミクスを無限次元状態空間 $\mathbf{C}$ に埋め込むことで、古典的ブラック・ショールズモデルが記憶効果を含む形に一般化される。