[論文レビュー] Stochastic Euler-Poincar\'e reduction

Marc Arnaudon, Xin Chen+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 17, 2012

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 1被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、リー群値の確率的過程に対する確率的Euler-Poincaré還元フレームワークを確立し、決定論的還元理論を確率的設定へ一般化する。SO(3)および微分同相群のための確率的偏微分方程式（SPDE）を導出し、確率的ナビエ＝ストークス方程式やカマッサ＝ホルム方程式を含む、確率的流体力学の統一的幾何的アプローチを提供する。

ABSTRACT

We prove a Euler-Poincaré reduction theorem for stochastic processes taking values on a Lie group, which is a generalization of the reduction argument in Marsden-Ratiu (2003) for the deterministic case. We also show examples of its application to SO(3) and to the group of diffeomorphisms, which includes the Navier-Stokes equation on a bounded domain and the Camassa-Holm equation.

研究の動機と目的

• Marsden-Ratiu (2003) の決定論的Euler-Poincaré還元フレームワークを、リー群上の確率的過程へ拡張すること。
• リー群上の確率的ハミルトニアン系のための幾何的還元理論を構築すること。
• 確率的還元を用いて、ナビエ＝ストークスやカマッサ＝ホルムなどの流体モデルの確率的偏微分方程式（SPDE）を導出すること。
• 無限次元リー群における対称性還元と確率的発展の間の厳密な関係を確立すること。
• 本フレームワークが回転する剛体（SO(3)）や非圧縮性流体のような物理系に適用可能であることを示すこと。

提案手法

• ストラトノビッチ微積分を用いて、Euler-Poincaré還元の変分原理を確率的設定へ適応する。
• リー群上の確率的過程に対して、対称性による還元を適用し、元の系の幾何的構造を保持する。
• 確率的変分に関する作用の臨界条件として、確率的Euler-Poincaré方程式を導出する。
• 群のリー代数を用いて、還元された確率的力学を運動量写像と随伴軌道の観点から表現する。
• 微分同相群への適用により、ナビエ＝ストークスおよびカマッサ＝ホルム方程式の確率的版を回復する。
• SO(3)および微分同相群における明示的例を通じて、本手法の妥当性を検証し、既知の確率的流体モデルと整合することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 決定論的Euler-Poincaré還元は、どのようにリー群上の確率的過程へ一般化可能か？
• RQ2 確率的系の対称性還元の文脈において、確率的Euler-Poincaré方程式の形は何か？
• RQ3 確率的還元フレームワークは、確率的ナビエ＝ストークス方程式やカマッサ＝ホルム方程式といった既知の確率的流体方程式をどのように回復するか？
• RQ4 ストラトノビッチ微積分は、確率的還元における幾何的構造の保存に果たす役割は何か？
• RQ5 本フレームワークは、SO(3)や微分同相群のような有限次元および無限次元リー群の両方へ適用可能か？

主な発見

• 本稿は、リー群上の確率的過程の還元力学を支配する確率的Euler-Poincaré方程式を導出し、決定論的ケースを一般化する。
• 本フレームワークは、微分同相群への還元の特殊ケースとして、有界領域における確率的ナビエ＝ストークス方程式をうまく回復する。
• 確率的カマッサ＝ホルム方程式は、微分同相群上での還元方程式として導出され、その幾何的起源が確率的変分原理によって裏付けられる。
• 還元プロセスは運動量写像構造を保持するため、確率的発展下でも保存則が維持される。
• SO(3)における明示的計算により、回転対称性を有する確率的剛体力学への理論の適用可能性が示される。
• ストラトノビッチ微積分の使用により、元の系の幾何的および対称性的性質が確率的還元においても保持される。