[論文レビュー] Stochastic filtering via L2 projection on mixture manifolds with computer algorithms and numerical examples

John Armstrong, Damiano Brigo|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2013

Stochastic processes and financial applications参考文献 43被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、連続時間の非線形確率的フィルタリング問題に対して、混合多様体上でのL²射影フィルタを提案する。Kushner–StratonovichのSPDEを有限次元の正規混合分布族に直接L²距離を用いて射影することで、同じパラメータ数のもとで粒子法と同等またはそれ以上の精度を達成する。さらに、多項式系では解析的に取り扱えるため、Hellingerに基づく指数型分布族フィルターよりも計算効率に優れる。

ABSTRACT

We examine some differential geometric approaches to finding approximate solutions to the continuous time nonlinear filtering problem. Our primary focus is a new projection method for the optimal filter infinite dimensional Stochastic Partial Differential Equation (SPDE), based on the direct L2 metric and on a family of normal mixtures. We compare this method to earlier projection methods based on the Hellinger distance/Fisher metric and exponential families, and we compare the L2 mixture projection filter with a particle method with the same number of parameters, using the Levy metric. We prove that for a simple choice of the mixture manifold the L2 mixture projection filter coincides with a Galerkin method, whereas for more general mixture manifolds the equivalence does not hold and the L2 mixture filter is more general. We study particular systems that may illustrate the advantages of this new filter over other algorithms when comparing outputs with the optimal filter. We finally consider a specific software design that is suited for a numerically efficient implementation of this filter and provide numerical examples.

研究の動機と目的

• 連続時間における非線形フィルタリング問題の数値的に効率的で高精度な近似手法の開発を目的とする。
• 従来の射影フィルタで用いられるHellinger距離／Fisher計量の代わりに、混合族に対する直接的なL²距離を用いる手法の検討を目的とする。
• Lévy距離を用いて、L²混合フィルタの性能を粒子法およびHellingerに基づく指数型フィルタと比較することを目的とする。
• L²混合射影フィルタの効率的実装を可能にするソフトウェアアーキテクチャの設計を目的とする。
• L²射影フィルタとガラーキン法との間の理論的および数値的関係を確立することを目的とする。

提案手法

• L²空間におけるL²内積構造を用いて、無限次元のKushner–Stratonovich SPDEを正規混合分布族からなる有限次元多様体に射影する。
• SPDEの確率的ベクトル場を混合多様体の接空間に射影することで、混合分布のパラメータに関する有限次元SDEが導かれる。
• 正規混合分布の場合、混合族が単純な場合にはL²射影フィルタがガラーキン法と一致するが、より豊かな混合族ではより一般化された形になる。
• 数値的実装では、多項式係数を有する場合に解析的積分が可能となるように、遷移密度およびモーメントの効率的計算を支援するソフトウェア設計を採用する。
• フィルタ出力分布の最適フィルタおよび粒子法との比較には、Lévy距離を用いて性能を評価する。
• 多項式のドリフトおよび観測係数に対して解析的積分を活用することで、モンテカルロベースの粒子フィルターよりも高速な計算が可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混合多様体上でのL²射影フィルタは、非線形フィルタリングにおいて粒子フィルターよりもより高精度で計算効率に優れた代替手法を提供できるか？
• RQ2 Lévy残差および解析的取り扱いやすさの観点から、L²混合フィルタはHellingerに基づく指数型フィルターよりも精度に優れているか？
• RQ3 L²混合フィルタがガラーキン法に簡約される条件は何か？また、どのような点でより一般化されているか？
• RQ4 Lévy距離を指標として、L²混合フィルタは粒子法と同等のパラメータ数のもとでより高い精度を達成できるか？
• RQ5 実用的な用途に向けたL²混合フィルタの効率的で安定した数値的実装を可能にするソフトウェアアーキテクチャは何か？

主な発見

• L²正規混合射影フィルタは、Lévy距離を指標として、同じパラメータ数のもとで粒子法と同等またはそれ以上の精度を達成しており、テスト例では最良の3粒子法をも上回る。
• 多項式係数を有する系では、L²混合フィルタに必要なすべての積分を解析的に計算可能であり、モンテカルロベースの粒子フィルターよりも高速かつ安定した計算が可能となる。
• L²混合フィルタは、非常に単純な混合族の場合に限りガラーキン法と一致するが、より一般的な混合族では厳密に一般化されており、柔軟性に優れる。
• 線形、二次、三次のセンサーを含むテストケースにおいて、L²混合フィルタは低く安定したLévy残差を維持しており、ロバストネスと精度の高さを示している。
• ソフトウェア設計により、解析的モーメント計算と混合成分の構造的パrameter化を活用した効率的実装が可能となっている。
• 同じパラメータ数のもとで、L²混合フィルタは粒子フィルターよりも顕著に低いLévy残差を示しており、近似品質の優位性が裏付けられている。