[論文レビュー] Stochastic Hamiltonian dynamical systems

Joan-Andreu Lázaro-Camí, Juan‐Pablo Ortega|ArXiv.org|Feb 26, 2007

Numerical methods for differential equations参考文献 10被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、グローバルな確率解析的手法を用いて、ポisson多様体上のハミルトニアン力学の確率的一般化を定式化し、確率的ハミルトニアン方程式を完全に特徴付ける重要な作用原理を導入する。これは、連続的半マルティンゲールノイズを含む古典的変分原理への拡張であり、確率的設定における安定性および保存則の条件を確立する。

ABSTRACT

We use the global stochastic analysis tools introduced by P. A. Meyer and L. Schwartz to write down a stochastic generalization of the Hamilton equations on a Poisson manifold that, for exact symplectic manifolds, are characterized by a natural critical action principle similar to the one encountered in classical mechanics. Several features and examples in relation with the solution semimartingales of these equations are presented.

研究の動機と目的

• 非ユークリッド的位相空間における確率的ハミルトニアン系の幾何的枠組みを、グローバルな確率的解析を用いて構築すること。
• 古典的変分原理を確率的設定に一般化し、確率的ハミルトニアン方程式を完全に特徴付けること。
• 確率的保存則とエネルギー法を用いて、確率的安定性（ほとんど確実および確率的意味での）の基準を確立すること。
• 減衰振動子や多様体上でのブラウン運動といった、固有のランダムネスを有する複雑系を、確率的ハミルトニアン力学によってモデル化すること。
• 一般の半マルティンゲールノイズを伴うポアソン多様体およびシンプレクティック多様体へと、確率的力学と幾何力学を統合すること。

提案手法

• 非ユークリッド的位相空間を扱うために、P. A. メイヤーとL. ショワールのグローバルな確率的解析フレームワークを用いる。
• ブラウン運動に限定されない連続的半マルティンゲールを用いて確率的ダイナミクスをモデル化し、より広範な適用可能性を実現する。
• 適切な作用素を用いたストラトノビッチおよびイトの確率的微分方程式を用いて、ポアソン多様体上での確率的ハミルトニアン方程式を定義する。
• 確率的変分原理（定理4.14）を導入し、これは確定的臨界作用原理を一般化し、確率的ハミルトニアン方程式を完全に特徴付ける。
• 2つの保存量の概念（1つはほとんど確実な安定性、もう1つは確率的安定性）を用いて、確率的ディリクレ基準（定理2.15）を適用し、安定性を分析する。
• 接バンドルおよび第二順序接バンドル上でのストラトノビッチ作用素とシュワルツ作用素の間の変換により、ストラトノビッチ形式とイト形式の等価性に依拠する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的ハミルトニアン形式は、どのようにポアソン多様体上での確率的摂動を含むように一般化できるか？
• RQ2 確率的ハミルトニアン力学を完全に特徴付ける適切な確率的変分原理とは何か？
• RQ3 確率的設定における保存量は、ほとんど確実なリャプノフ安定性および確率的安定性といった安定性特性とどのように関係するか？
• RQ4 確率的ハミルトニアン系は、減衰や多様体上でのブラウン運動といった物理的現象をモデル化できるか？
• RQ5 グローバルな確率的解析手法は、対称性の下での確率的ハミルトニアン系の簡約をどのように可能にするか？

主な発見

• ポアソン多様体上での確率的ハミルトニアン方程式は、臨界作用原理によって完全に特徴付けられ、確定的ケースの一般化である。
• 解となる半マルティンゲールは、シンプレクティック葉を保存するため、確率的発展における幾何的整合性が保証される。
• 確率的設定では2つの異なる保存量の概念が存在し、これにより確率的ディリクレ基準を適用し、ほとんど確実なリャプノフ安定性および確率的安定性を結論づけることができる。
• 減衰振動子は、確率的ハミルトニアン系の解半マルティンゲールの平均運動として記述可能であり、確率的ダイナミクスとマクロな減衰を結びつける。
• 多様体上でのブラウン運動は、余接バンドルまたは正規フレームバンドル上に定義された単純なハミルトニアン半マルティンゲールの射影として現れる。
• ストラトノビッチ形式とイト形式の等価性は、ストラトノビッチ作用素とシュワルツ作用素の間の変換により確立され、確率的モデリングにおける一貫性が保証される。