[論文レビュー] Stochastic Homogenization for Some Nonlinear Integro-Differential Equations

Russell W. Schwab|arXiv (Cornell University)|Jan 31, 2011

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、定常・混合確率的係数を有する、広範な非線形積分微分方程式のクラスに対して、確率的均質化を確立し、解が決定的で平行移動不変な有効方程式にほとんど everywhere で一様収束することを証明する。主な貢献は、有効方程式の同定と、可測な要素を用いた比較原理を用いた、最小限の仮定のもとでの均質化の厳密な正当化であり、周期的均質化の結果を確率的設定へと拡張する。

ABSTRACT

In this note we extend to the random, stationary ergodic setting previous results of periodic homogenization for a particular family of nonlinear nonlocal "elliptic" equations with oscillatory coefficients. Such equations include, but are not limited to Bellman equations and the Isaacs equations for the control and differential games of some pure jump processes. The existence of an effective equation and convergence the solutions of the family of the original equations is obtained. Even in the linear case of the equations contained herein the results appear to be new.

研究の動機と目的

• 非線形積分微分方程式の周期的均質化結果を、一般の定常・混合設定へと拡張すること。
• 解の極限を支配する決定的で平行移動不変な有効方程式の存在と同定を確立すること。
• ωに関するほとんど everywhere で、x に関して一様に、解 u^ε が有効方程式の解に収束することを証明すること。
• 非局所楕円型方程式に不可欠な「可測な要素を用いた比較原理」の結果を証明することで、均質化枠組みを検証すること。
• 特に、ジャンプ過程を伴う最適制御や確率的微分ゲームに現れる方程式に対して、周期的から確率的環境へと結果を一般化すること。

提案手法

• 完全非線形非局所楕円型方程式（確率的係数を有する）の粘性解理論に依拠した分析。
• 収束を最小限の仮定のもとで保証するための主要な技術的道具として、可測な要素を用いた比較原理を確立。
• 変換群 τ_x の下での係数族 K^αβ と f^αβ の定常性と混合性を用いて、有効作用素 F̄ を同定。
• ペナルティ法と障害問題の正則性推定を用いて、解族 u^ε の振動を制御。
• 障害解の平行移動不変性、単調性、および Hölder 継続性に関する補題を用いて、一様バインディングを導出。
• スケールを跨ぐ正則性と比較の伝播に用いるために、解の収束を吹き抜き法と最大関数を用いて示した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常・混合係数を有する完全非線形積分微分方程式の解族 u^ε は、決定的で平行移動不変な有効方程式に一様に収束するか？
• RQ2 均質化に不可欠な「可測な要素を用いた比較原理」は、確率的設定における非局所楕円型方程式において確立可能か？
• RQ3 有効方程式 F̄(ū, x) = 0 の構造は何か？ また、元の確率的作用素 F とどのように関係しているか？
• RQ4 u^ε から ū への収束は、ほとんど確実な収束および x に関して一様性の観点からどのように振る舞うか？
• RQ5 既知の周期的均質化結果は、確率的・混合ケースへどの程度一般化可能か？

主な発見

• 有効方程式 F̄(ū, x) = 0 は決定的で、平行移動不変であり、完全非線形である。これは元の確率的作用素の混合平均から生じる。
• 解 u^ε は ω に関してほとんど確実に収束し、D のコンパクト部分集合上で x に関して一様に、有効方程式の解 ū に収束する。
• 収束速度は、η → 0 のとき m(η) → 0 となる関数 m(η)/ε を用いて定量的に評価され、『悪い』集合の測度が ε とともに縮小することを示唆する。
• 可測な要素を用いた比較原理は、主要な技術的結果として証明され、均質化の議論を可能にする。
• 非局所作用素の障害問題は、n, λ, Λ, σ および領域 A に依存する指数 γ に関して一様 Hölder 継続的であることが示された。
• 障害解の平行移動および単調性の性質が厳密に確立され、スケールを跨ぐ正則性と比較の伝播に用いられた。