[論文レビュー] Stochastic homogenization of $Λ$-convex gradient flows

Martin Heida, Stefan Neukamm+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$ Lambda$-凸エネルギーと二次形式の散逸ポテンシャルを有するヒルベルト空間勾配系に対して、急速に振動する確率的係数を特徴とする確率的均質化フレームワークを確立する。著者らは、周期的均質化に類似したが、確率的媒体に適応された新しい確率的アンフォールディング作用素を導入し、解の弱収束を均質化極限へと証明する。この枠組みは、アレン・カーン方程式や$p$-ラプラシアン系（$p\in(1,\infty)$）を含む多様な方程式をカバーする。

ABSTRACT

In this paper we present a stochastic homogenization result for a class of Hilbert space evolutionary gradient systems driven by a quadratic dissipation potential and a $Λ$-convex energy functional featuring random and rapidly oscillating coefficients. Specific examples included in the result are Allen-Cahn type equations and evolutionary equations driven by the $p$-Laplace operator with $p\in (1,\infty)$. The homogenization procedure we apply is based on a stochastic two-scale convergence approach. In particular, we define a stochastic unfolding operator which can be considered as a random counterpart of the well-established notion of periodic unfolding. The stochastic unfolding procedure grants a very convenient method for homogenization problems defined in terms of ($Λ$-)convex functionals.

研究の動機と目的

• ヒルベルト空間における勾配系の均質化理論を、確率的かつ急速に振動する係数を有する場合に開発すること。
• \Lambda$-凸エネルギーを有する時間発展型偏微分方程式における、非周期的で確率的なミクロ構造の挑戦に応えること。
• 周期的均質化法を確率的状況に拡張するため、確率的アンフォールディング作用素を導入すること。
• アレン・カーン型および$p$-ラプラシアン型を含む広範な方程式クラスに対して、解の弱収束を均質化極限系へと確立すること。
• 凸性と変分的構造に基づく、確率的均質化の統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• エルゴディックな確率的媒体に適した、古典的周期的アンフォールディングの確率的類似物としての確率的アンフォールディング作用素を導入すること。
• 確率的二尺度収束を用いて、確率的係数が存在する下での解の列の漸近的挙動を分析すること。
• 系の変分的構造（二次形式の散逸ポテンシャルと$\Lambda$-凸エネルギー）を用いて、コンパクト性と収束を保証すること。
• $\Lambda$-凸性を活用してエネルギーの形状を制御し、確率的設定下での一様推定を導出すること。
• アンフォールディング作用素を用いて、マクロスケールとマイクロスケールを組み合わせた二尺度極限を構築すること。
• 拡張された積空間におけるアンフォールディング列の弱収束を証明し、均質化極限の同定を可能にすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 勾配系の文脈において、周期的アンフォールディング法を確率的で非周期的な媒体に一般化する方法は何か？
• RQ2 係数が確率的かつ急速に振動する場合に、解が均質化極限へ収束するための条件は何か？
• RQ3 確率的アンフォールディング作用素は、$\Lambda$-凸勾配系の解の二尺度構造を効果的に捉えることができるか？
• RQ4 エネルギー関数の$\Lambda$-凸性が、確率的設定下でのコンパクト性と収束をどの程度支援するか？
• RQ5 確率的エルゴディック係数を有するアレン・カーン型および$p$-ラプラシアン型流れに対する均質化方程式は何か？

主な発見

• 確率的アンフォールディング作用素は、確率的媒体への周期的アンフォールディングの一般化に成功し、確率的設定下での二尺度極限の解析を可能にした。
• $\Lambda$-凸性と二次形式の散逸を仮定することで、解の弱収束が均質化極限系へと確立された。
• 均質化系は元の問題の変分的性質を保った勾配系構造を有し、物理的整合性を維持した。
• アレン・カーン方程式および$p\in(1,\infty)$の$p$-ラプラシアン系を含む広範な方程式クラスに対して、確率的係数のもとで本手法が適用可能である。
• 収束は確率的二尺度収束の意味で証明されており、下伏するエルゴディックな確率的環境と整合的である。
• 凸解析とアンフォールディング技法を用いて、非周期的で確率的な勾配系の均質化に体系的なアプローチを提供するフレームワークが構築された。