[論文レビュー] Stochastic homogenization of quasilinear Hamilton-Jacobi equations and geometric motions

Scott A. Armstrong, Pierre Cardaliaguet|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 31被引用数 51

ひとこと要約

本稿は、非凸ハミルトニアンおよび勾配に依存する拡散を有する擬線形な粘性ハミルトン・ジャコビ方程式について、最初の定性的な確率的均質化を、部分的加法的エルゴード定理の失敗を回避する新しい定量的アプローチを用いて確立する。解のほとんど確実な局所一様収束が、星型の有効ハミルトニアンを有する決定的有効方程式へと示され、非凸的で擬線形な設定における最初の代数的収束率が得られる。

ABSTRACT

We study random homogenization of second-order, degenerate and quasilinear Hamilton-Jacobi equations which are positively homogeneous in the gradient. Included are the equations of forced mean curvature motion and others describing geometric motions of level sets as well as a large class of viscous, non-convex Hamilton-Jacobi equations. The main results include the first proof of qualitative stochastic homogenization for such equations. We also present quantitative error estimates which give an algebraic rate of homogenization.

研究の動機と目的

• 非凸ハミルトニアンおよび勾配に依存する拡散を有する擬線形な粘性ハミルトン・ジャコビ方程式の確率的均質化という長年の未解決問題を解消すること。
• スケールパラメータ $\varepsilon \to 0$ の下での解のほとんど確実な局所一様収束を確立すること。
• このような非凸的で勾配に依存する方程式に対して、最初の定量的誤差推定値と代数的収束率を導出すること。
• 特に幾何的フローおよび非凸的粘性HJ方程式において、凸または線形拡散構造を超えた均質化理論を拡張すること。
• 均質化が非凸的設定で成立するためにはリプシッツ正則性条件（例えば条件 (1.4)）が必要であることを検証すること。

提案手法

• 部分的加法的構造に依存しない定量的推定に基づく新戦略を提案し、非凸の場合における部分的加法的エルゴード定理の不成立を克服する。
• メトリック問題を用いた摂動論法により、(LS) 条件 (1.12) の下で解のリプシッツ正則性を導出し、一様なバウンディングを保証する。
• 変数の二重化法を用いて、元の方程式と有効方程式の解を比較し、$A$ および $H$ の正則性を活用する。
• スケーリング $u^\varepsilon(x,t) = \varepsilon u(x/\varepsilon, t/\varepsilon)$ を導入し、$\varepsilon$ スケール問題と極限方程式を関連付ける。
• 適切に選んだテスト関数 $\varphi_\beta$ と最大原理の使用により、$\sup (v_1 - v_2)$ を $|\xi - \eta|$ および $|\eta|^{-p}$ の関数としてバウンディングする定量的推定を確立する。
• パラメータ $\alpha$ の最適化により、最終的な誤差推定 $\sup |v_1 - v_2| \leq C|\eta|^{-2p/7}|\xi - \eta|^{2/7}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非凸ハミルトニアンを有する擬線形な粘性ハミルトン・ジャコビ方程式について、確率的均質化を確立できるか？
• RQ2 拡散行列が勾配 $Du^\varepsilon$ に依存する場合、均質化極限は依然として有効か？
• RQ3 このような非凸的で擬線形な方程式に対して、代数的収束率を有する定量的誤差推定が得られるか？
• RQ4 解のリプシッツ正則性が均質化を保証する役割を果たすとは何か？また、それが必要不可欠であるか？
• RQ5 非凸的設定において、部分的加法的エルゴード定理を回避し、定量的手法を用いて均質化を証明することは可能か？

主な発見

• 本稿は、$\varepsilon \to 0$ の下で $u^\varepsilon$ が決定的有効方程式 $\partial_t u + \overline{H}(Du) = 0$ の解 $u$ へとほとんど確実に局所一様収束することを証明する。
• 有効ハミルトニアン $\overline{H}$ の等高線集合は、原点に関して星型であるが、元の $H$ が非凸であっても成り立つ。
• 代数的収束率が確立される：$\sup |v_1 - v_2| \leq C|\eta|^{-2p/7}|\xi - \eta|^{2/7}$ であり、これは定量的誤差推定を示唆する。
• 条件 (1.4) の下で、強制平均曲率方程式 (1.3) に適用可能であり、幾何的フローの確率的均質化における長年の未解決問題を解決する。
• 本手法により、$d > 1$ における非凸的で擬線形な粘性HJ方程式の広範なクラスについて、最初の均質化結果が得られる。特に $p > 1$ の (1.6) が含まれる。
• 均質化に際しリプシッツ正則性（例：条件 (1.4)）が必要であることが確認される：それがないと、均質化は成立しない可能性がある。