[論文レビュー] Stochastic Impulse Control of Non-Markovian Processes

Boualem Djehiche, Saïd Hamadène+1 more|ArXiv.org|Jun 17, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、反射型後向きストキャスティック微分方程式（RBSDE）およびスネル上界を用いて、非マルコフ過程における最適確率的インパルス制御の存在を確立する。これは、古典的準変分不等式法の限界を克服したものである。主な貢献は、確率的係数および経路依存報酬関数を含む一般な条件下で、収束する有限インパルス戦略の近似スキームを構築することによって、厳密な存在証明を達成したことである。

ABSTRACT

We consider a class of stochastic impulse control problems of general stochastic processes i.e. not necessarily Markovian. Under fairly general conditions we establish existence of an optimal impulse control. We also prove existence of combined optimal stochastic and impulse control of a fairly general class of diffusions with random coefficients. Unlike, in the Markovian framework, we cannot apply quasi-variational inequalities techniques. We rather derive the main results using techniques involving reflected BSDEs and the Snell envelope.

研究の動機と目的

• 古典的準変分不等式法が失敗する非マルコフ的設定における確率的インパルス制御の存在結果の欠如に対処すること。
• 確率的係数および経路依存報酬関数を有する過程への最適制御理論の拡張。
• 一般的な可積分性および適応性条件の下で最適インパルス制御の存在を確立すること。
• ベネス型選択定理を用いて、確率的およびインパルス制御の組み合わせを統一的に取り扱うこと。

提案手法

• 価値過程は報酬過程のスネル上界として特徴付けられ、これにより報酬を支配する最小のスーパー martingale であることが保証される。
• 反射型後向きストキャスティック微分方程式（RBSDE）を用いて価値過程を表現し、反射部分がインパルス制御コストを表す。
• 有限インパルス数を持つ制御の近似スキームを構築し、その価値過程が真の価値過程に収束することを示す。
• オプション過程の一様可積分性および[D]クラスの性質を用いて、近似価値過程の収束を証明する。
• RBSDE解の一意性を活用し、有限インパルス戦略における最適制御の極限として最適制御を導出する。
• 混合確率的およびインパルス制御設定において、ベネス型選択定理を適用して最適方策を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 報酬関数が過程の全経路に依存する非マルコフ過程において、最適確率的インパルス制御を保証できるか？
• RQ2 マルコフ構造が欠如している場合、準変分不等式が使用不能となり、その代わりに最適制御の存在を保証するフレームワークは何か？
• RQ3 一般のインパルス制御問題の価値過程は、弱い可積分性条件の下でスネル上界および反射型BSDEの解として表現可能か？
• RQ4 有限インパルス数制限付きの有限 horizon インパルス制御問題における最適戦略は、すべての許容可能なインパルス列に対する最適戦略に収束するか？
• RQ5 確率的係数を有する拡散過程に対して、混合最適確率的およびインパルス制御をどのように構築できるか？

主な発見

• インパルス制御問題の価値過程は報酬過程のスネル上界として示され、これは反射型BSDEの解と同値であることが示された。
• 係数の弱い可積分性条件の下で、反射型BSDEの系の解の存在および一意性が保証された。
• インパルス制御問題の価値過程は、インパルス数を増加させる有限インパルス戦略に関連する価値過程の極限として表される。
• 確率的係数および経路依存報酬関数を有する一般クラスの非マルコフ過程において、最適インパルス制御戦略が存在することが示された。
• 有限インパルス数制限付きの最適制御の列の極限として最適制御が構築され、期待値の収束が保証された。
• 混合確率的およびインパルス制御設定において、ベネス型選択定理を用いて最適方策が導出され、より広範な拡散過程へとフレームワークが拡張された。