[論文レビュー] Stochastic individual-based models with power law mutation rate on a general finite trait space

Loren Coquille, Anna Kraut+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 6, 2020

Evolution and Genetic Dynamics参考文献 38被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、べき乗則に従う変異率（μ_K = K^{-1/α}）を持つ有限の特性グラフ上で進化する無性・単倍体集団を対象とした確率的個体ベースモデルを構築する。大規模集団極限（K→∞）において、サブ集団サイズの対数的時間発展が、適応度ランドスケープアルゴリズムによって決定される傾きを持つ区分的アフィン連続路に従うことが示された。これは、従来の決定論的および希少変異枠組みを、共存する変異体を伴う広範な変異レジームへと一般化したものである。

ABSTRACT

We consider a stochastic individual-based model for the evolution of a haploid, asexually reproducing population. The space of possible traits is given by the vertices of a (possibly directed) finite graph $G=(V,E)$. The evolution of the population is driven by births, deaths, competition, and mutations along the edges of $G$. We are interested in the large population limit under a mutation rate $\\mu_K$ given by a negative power of the carrying capacity $K$ of the system: $\\mu_K=K^{-1/\\alpha},\\alpha>0$. This results in several mutant traits being present at the same time and competing for invading the resident population. We describe the time evolution of the orders of magnitude of each sub-population on the $\\log K$ time scale, as $K$ tends to infinity. Using techniques developed in [Champagnat, M\\'el\\'eard, Tran, 2019] we show that these are piecewise affine continuous functions, whose slopes are given by an algorithm describing the changes in the fitness landscape due to the succession of new resident or emergent types. This work generalises [Kraut, Bovier, 2019] to the stochastic setting, and Theorem 3.2 of [Bovier, Coquille, Smadi, 2018] to any finite mutation graph. We illustrate our theorem by a series of examples describing surprising phenomena arising from the geometry of the graph and/or the rate of mutations.

研究の動機と目的

• 既存の適応ダイナミクスモデルを、確率的で有限集団の設定、および希少でないべき乗則変異率へと拡張すること。
• 複数の変異体が共存・競争する状況における大規模集団極限（K→∞）を分析し、希少変異仮定を越えること。
• 文献[6]の定理3.2および文献[24]の結果を、任意の有限変異グラフおよび確率的ダイナミクスへ一般化すること。
• 適応度に基づくアルゴリズムを用いて、log K時間スケールにおけるサブ集団サイズの順序の時間的変化を同定すること。

提案手法

• 個体がエッジに沿って変異する有限で、場合によっては有向である特性グラフ（G = (V, E)）上に集団をモデル化する。
• 出生、死滅、競争、変異イベントを含む確率的個体ベース過程を用い、保因能力Kでスケーリングする。
• 変異率μ_K = K^{-1/α}（α > 0）を課し、同時に複数の変異が発生するのを許容する。
• カップリング技法とフラッド極限の議論を用いて、スケーリングされたサブ集団プロセスの収束を示す。
• log K時間スケールにおけるサブ集団サイズのオーダーの区分的アフィン連続路の傾きを決定する決定論的アルゴリズムを導出する。
• 文献[10]および[21]の結果を用いて、極限ダイナミクスの収束性および安定性を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 保因能力の負のべき乗に従う変異率をとる場合、複数の変異体が共存できる状況で集団はどのように進化するか？
• RQ2 このような変異レジーム下で、log K時間スケールにおけるサブ集団サイズの極限的挙動は何か？
• RQ3 特性グラフの幾何構造と変異率は、進化的な遷移の順序にどのように影響を与えるか？
• RQ4 住民型と出現型の順次的置換は、適応度の比較に基づく決定論的アルゴリズムで記述可能か？
• RQ5 K→∞のとき、確率的モデルはどのようにサブ集団サイズのオーダーの決定論的経路に収束するか？

主な発見

• log K時間スケールにおけるサブ集団サイズの時間的変化は、K→∞のとき区分的アフィン連続関数に収束する。
• これらの経路の傾きは、新たな住民型または出現型が登場した際の適応度の変化を追跡する再帰的アルゴリズムによって決定される。
• 本モデルは、従来の希少変異レジームおよび決定論的設定からの結果を、確率的で有限集団的かつ一般の変異グラフへと一般化している。
• 全集団サイズはlog Kスケールで確率的に有界であり、各サブ集団についてロジスティック型平衡に収束する。
• 出生率・死滅率・競争率の微小な摂動に対しても収束は頑健であり、極限ダイナミクスの安定性が保証される。
• 変異がサブ集団内でも発生する場合でも、全集団サイズのスケーリングに影響を及ぼさないため、結果は依然として成立する。