[論文レビュー] Stochastic Integral Equations for Walsh Semimartingales

Tomoyuki Ichiba, Ioannis Karatzas+2 more|arXiv (Cornell University)|May 11, 2015

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、局所時間と反射を介した角運動の依存関係をモデル化する確率積分方程式系を用いて、ウォルシュ・ブラウン運動およびスパイダー・マルティンゲールを一般化する平面的半マルティンゲールのクラスを導入する。本稿は、フレイドリン＝シェウ型の変数変換公式を確立し、マルコフ的条件下での解の分布における一意性を証明し、ハリソン＝シェップの枠組みを2次元に拡張し、マルティンゲール問題との明確な接続を確立する。

ABSTRACT

We construct planar semimartingales that include the Walsh Brownian motion as a special case, and derive Harrison-Shepp-type equations and a change-of-variable formula in the spirit of Freidlin-Sheu for these so-called "Walsh semimartingales". We examine the solvability of the resulting system of stochastic integral equations. In appropriate Markovian settings we study two types of connections to martingale problems, questions of uniqueness in distribution for such processes, and a few examples.

研究の動機と目的

• 角運動の依存関係とねじれのない展開ダイナミクスを持つ2次元的スケーリングブラウン運動の類似物を構築すること。
• ウォルシュ・ブラウン運動およびスパイダー・マルティンゲールを特別な場合として含む、平面的半マルティンゲールの一般クラスを構築すること。
• スケーリングブラウン運動のハリソン＝シェップ方程式に類似した、平面的過程の点反射を動的にモデル化可能な確率積分方程式系を導出すること。
• これらの過程に対してフレイドリン＝シェウ型の変数変換公式を確立し、各方向の局所時間に基づく2次元的伊藤積分の拡張を実現すること。
• この方程式系をマルティンゲール問題と結びつけ、時刻に依存しない強マルコフ性の条件下で解の分布の一意性を証明すること。

提案手法

• スコロホド反射と角運動の確率的入射法則を用いて、平面的半マルティンゲールのダイナミクスを記述する確率積分方程式系（2.12）を提案する。
• 半マルティンゲールの折りたたみ／展開メカニズムを用い、径方向の運動を反射した拡散過程と、原点における角運動を確率的入射法則で記述する。
• フレイドリン＝シェウの精神に則った変数変換公式（4.5）を導出し、各方向の局所時間と角成分を含む。
• プロカイ（2009）の手法を応用し、ハリソン＆シェップ（1981）に類似した経路的一意性および可解性条件を分析する。
• 方程式系を伊藤拡散形式（6.4）に再定式化し、局所マルティンゲール問題に接続して弱解および分布における一意性を研究する。
• 補助的な確率測度と停止時刻を用いて、過程が原点に到達しない場合の状況に対処し、解の枠組みの堅牢性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点における角運動の確率的ランダム化を含み、ウォルシュ・ブラウン運動を一般化する2次元的スケーリングブラウン運動を構築可能か？
• RQ2 このような平面的半マルティンゲールのダイナミクスを記述する確率積分方程式系は何か？ そして、ハリソン＝シェップ方程式を2次元に拡張する方法は？
• RQ3 これらの過程に対してフレイドリン＝シェウ型の変数変換公式が成立するか？ そして、局所時間と角成分を用いてどのように表現されるか？
• RQ4 解の分布の一意性が成立する条件は何か？ そして、マルティンゲール問題とどのように結びつけるか？
• RQ5 導出された方程式系の時間に依存しない、強マルコフ的解はウォルシュ拡散に限られるか？

主な発見

• スコロホド反射と角運動の確率的ランダム化を介して制御される、確率積分方程式系（2.12）が構築され、ウォルシュ・ブラウン運動およびスパイダー・マルティンゲールを一般化する。
• フレイドリン＝シェウ型の変数変換公式（4.5）が導出され、関数のダイナミクスが局所時間と角成分で表現される。
• 時刻に依存しない性質と強マルコフ性の仮定の下で、方程式系の解は分布において一意であることが示され、マルティンゲール問題との接続によって証明された。
• 径方向成分の局所時間は、各角方向の線に対する局所時間に比例しており、その比例係数は円周上の測度νによって決定される（9.1）。
• 過程が原点に正の確率で到達する場合、原点における入射法則は円周上の確率測度μで特徴づけられ、これは解の挙動によって一意に定まる。
• フェラー半群を用いて構築されたウォルシュ・ブラウン運動が、提示されたウォルシュ拡散フレームワークの特別な場合であることが示された。