[論文レビュー] Stochastic Integral with respect to Cylindrical Wiener Process

Anna Karczewska|ArXiv.org|Nov 21, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 6被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、核的共分散作用素を必要とせず、実数値のウィーナー過程に関するストキャスティック積分に類似した方法で、無限次元の円柱型ウィーナー過程に関するイト確率積分の代替的構成を提示する。主な貢献は、ウォルシュのマルティングール測度アプローチと関連づけた厳密な代替的枠組みを確立し、適切な条件下で等価性を示したことである。

ABSTRACT

This paper is devoted to a construction of the stochastic Itô integral with respect to infinite dimensional cylindrical Wiener process. The construction given is an alternative one to that introduced by DaPrato and Zabczyk [3]. The connection of the introduced integral with the integral defined by Walsh [9] is provided as well.

研究の動機と目的

• ダプラトとツァブチクの手法とは異なる、無限次元の円柱型ウィーナー過程に関するイト確率積分の代替的構成を提供すること。
• 実数値のウィーナー過程に関するストキャスティック積分の整備された理論を活用し、無限次元における構成を単純化および一般化すること。
• 提案された積分とウォルシュが導入したマルティングール測度積分との関係を確立すること。
• 円柱型ウィーナー過程の場合に、新しい構成がウォルシュの積分と等価であることを示すこと。

提案手法

• 共分散作用素のスペクトル表現を用いて、円柱型ウィーナー過程を独立な実数値ウィーナー過程の級数に分解する。
• 有限次元射影に関する積分の部分和の $ L^2(Ω) $-極限として積分を定義する。
• 適切な可積分性条件の下で、ヒルベルト＝シュミット作用素の枠組みを用いて級数の収束を保証する。
• 空間に於いて独立な増分を持つ $ \mathbb{R}^d $ 上の確率測度として円柱型ウィーナー過程を解釈し、結果の積分とウォルシュのマルティングール測度定式化を比較する。
• 簡単な関数に対して、スペクトル分解を介して定義された積分が、時空間におけるウォルツ型積分と一致することを示し、二つの積分の等価性を確立する。
• 空間 $ \mathcal{P}_M $ における初等関数の稠密性を用いて、一般の予測可能過程 $ \widetilde{P}_T $ における一般化への拡張を実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 核的共分散作用素を必要とせず、実数値のウィーナー過程のみを用いて円柱型ウィーナー過程に関するストキャスティック積分を構成可能か？
• RQ2 提案された構成は、ダプラトとツァブチクの古典的手法と比較して、技術的仮定や適用範囲においてどのように異なるか？
• RQ3 スペクトル分解を介して定義されたストキャスティック積分は、ウォルシュが導入したマルティングール測度積分と等価か？
• RQ4 積分の級数表現が $ L^2 $-意味で収束するための条件は何か？
• RQ5 実数値のウィーナー過程を用いた構成が、時空間におけるウォルツ型積分と一致する条件は何か？

主な発見

• 円柱型ウィーナー過程に関するストキャスティック積分は、有限次元射影に関する積分の部分和の $ L^2 $-極限として、実数値のウィーナー過程のみを用いて構成可能である。
• 核的共分散作用素の要請を回避するため、より広いクラスの作用素に適用可能である。
• 円柱型ウィーナー過程を $ \mathbb{R}^d $ 上の確率測度として解釈した場合、得られた積分はウォルシュのマルティングール測度積分と等価である。
• 任意の $ \phi \in \widetilde{P}_T $ に対して、恒等式 $ \int_0^T \phi(t)\,dW(t) = \int_0^T \int_{\mathbb{R}^d} \phi(t)(x)\,W(dt,dx) $ がほとんど確実に成立する。
• 固有値の可 summability 性とカーネルの可積分性に起因する $ L^2(\Omega) $ 内のコーシー性により、部分和の収束が保証される。
• 初等関数の空間は $ \mathcal{P}_M $ において稠密であるため、一般の予測可能過程への積分の拡張が保証される。