[論文レビュー] Stochastic Integrals and Abelian Processes

Claudio Albanese|ArXiv.org|Nov 19, 2007

Neural Networks and Applications被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、均一連続係数を有する三角形分割された拡散過程にフーリエ解析およびレノルミゼーション群技法を適用することで、連続極限における確率積分を構成的・経路に依存する方法で定義する。フーリエ変換されたマルコフ生成子のグラフノルムにおける収束を確立し、共通核の滑らかさおよび解析的性を証明する。また、この手法を非共鳴的アーベル過程（確率積分、上界過程、離散時間和）へと拡張する。

ABSTRACT

We study triangulation schemes for the joint kernel of a diffusion process with uniformly continuous coefficients and an adapted, non-resonant Abelian process. The prototypical example of Abelian process to which our methods apply is given by stochastic integrals with uniformly continuous coeffcients. The range of applicability includes also a broader class of processes of practical relevance, such as the sup process and certain discrete time summations we discuss. We discretize the space coordinate in uniform steps and assume that time is either continuous or finely discretized as in a fully explicit Euler method and the Courant condition is satisfied. We show that the Fourier transform of the joint kernel of a diffusion and a stochastic integral converges in a uniform graph norm associated to the Markov generator. Convergence also implies smoothness properties for the Fourier transform of the joint kernel. Stochastic integrals are straightforward to define for finite triangulations and the convergence result gives a new and entirely constructive way of defining stochastic integrals in the continuum. The method relies on a reinterpretation and extension of the classic theorems by Feynman-Kac, Girsanov, Ito and Cameron-Martin, which are also re-obtained. We make use of a path-wise analysis without relying on a probabilistic interpretation. The Fourier representation is needed to regularize the hypo-elliptic character of the joint process of a diffusion and an adapted stochastic integral. The argument extends as long as the Fourier analysis framework can be generalized. This condition leads to the notion of non-resonant Abelian process.

研究の動機と目的

• 測度論的コンパクト性の議論に依存しない、連続極限における確率積分を定義する構成的・非確率論的手法の開発。
• 係数の均一連続性の下で、拡散過程と適応確率積分の同時分布に対する三角形分割スキームの収束の確立。
• 標準的な確率積分を越えて、より広いクラスの経路依存過程（非共鳴的アーベル過程と呼ばれる）へのフレームワークの拡張。
• 係数のホルダー微分可能性に依存する、フーリエ変換されたマルコフ生成子のグラフノルムにおける収束速度の導出。
• 解析的接続および共通核のブロック対角化を用いた、経路に依存する作用素代数的導出により、古典的結果（例：ファインマン＝カック、ジルサノフ、キャンマーズ＝マーチン）の再導出。

提案手法

• 空間的均一離散化と連続時間または完全に明示的なオイラー時間離散化を用いた三角形分割スキームを採用し、コーエン条件を満たす。
• ヒポエルリプティック構造の正則化およびマルコフ生成子のブロック対角化を可能にするために、共通核にフーリエ変換を適用する。
• 経路寄与を再帰的に要約するため、レノルミゼーション群変換を用い、時間順序付き相互作用を持つ装飾付き経路を扱う。
• 確率論的解釈を一切用いない経路的解析を導入し、収束証明には複素重みへの解析的接続に依存する。
• 作用素代数的手法を用いて、有限三角形分割上での共通マルコフ生成子を定義し、フーリエ変換された生成子のグラフノルムにおいて収束を証明する。
• 基本的伝搬子の上昇および部分的フーリエ変換を用いて、離散時間過程へと拡張し、ブロック対角化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 空間的および時間的均一離散化の下で、拡散過程と確率積分の同時分布が連続極限においてどのような条件下で収束するか？
• RQ2 非構成的測度論的手法に依存せずに、連続極限における確率積分をどのように構成的に定義できるか？
• RQ3 フーリエベースの正則化を用いることで、確率積分を越えて同様の収束性および解析的性を示せる経路依存過程のクラスは何か？
• RQ4 フーリエ変換されたマルコフ生成子のグラフノルムにおける収束速度は何か？また、係数の滑らかさにどのように依存するか？
• RQ5 確率積分の特性関数に関する古典的公式（例：ジルサノフ、キャンマーズ＝マーチン）は、経路に依存する構成的枠組みから再導出可能か？

主な発見

• 拡散過程と確率積分の共通核のフーリエ変換は、確率積分の共役変数に関して整関数であり、滑らかさおよび収束を保証する。
• 三角形分割スキームの収束は、フーリエ変換されたマルコフ生成子のグラフノルムにおいて発生し、収束速度は係数のホルダー微分可能性に依存する。
• コンパクト性や確率論的仮定を一切用いずに、ファインマン＝カック、ジルサノフ、キャンマーズ＝マーチン、および伊藤の公式の構成的導出が可能である。
• 非共鳴的アーベル過程（上界過程、離散時間和など）へのフレームワークの拡張が可能であり、同様のフーリエおよびレノルミゼーション技法により収束が確立される。
• 離散時間オイラースキームでは、1期間の核の収束が直接グラフノルムにおける収束を示し、時間離散化の下でも境界が保たれる。
• 吸収境界条件（例：上界過程におけるもの）の下でも、共通核は適切に正則化され、吸収点における力学の単純化により境界が保たれる。