[論文レビュー] Stochastic k-Server Problem: How Should Uber Work?

Sina Dehghani, Soheil Ehsani+3 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Optimization and Search Problems被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、時間経過に伴い既知の確率分布からリクエストが抽出される確率的kサーバー問題を提示し、一般のメトリクスにおいて3-近似の保証を持つ非適応的オンラインアルゴリズムのクラスを提案する。このクラス内での最適解を求めるための整数計画法を提示し、O(log n)近似を達成するラウンドリングベースのアルゴリズムを構築する。一般メトリクスではO(log n)近似、直線および円形メトリクスでは3-近似を達成する。さらに、各リクエストが出発地と到着地を持つ相関的な確率的Uber問題へと拡張され、kサーバー問題のa-近似解から(a+2)-近似解が得られる。

ABSTRACT

In this paper, we study a stochastic variant of the celebrated k-server problem. In the k-server problem, we are required to minimize the total movement of k servers that are serving an online sequence of t requests in a metric. In the stochastic setting we are given t independent distributions in advance, and at every time step i a request is drawn from Pi. Designing the optimal online algorithm in such setting is NP-hard, therefore the emphasis of our work is on designing an approximately optimal online algorithm. We first show a structural characterization for a certain class of non-adaptive online algorithms. We prove that in general metrics, the best of such algorithms has a cost of no worse than three times that of the optimal online algorithm. Next, we present an integer program that finds the optimal algorithm of this class for any arbitrary metric. Finally, by rounding the solution of the linear relaxation of this program, we present an online algorithm for the stochastic k-server problem with the approximation factor of 3 in the line and circle metrics and O(log n) in a general metric of size n. Moreover, we define the Uber problem, in which each demand consists of two endpoints, a source and a destination. We show that given an a-approximation algorithm for the k-server problem, we can obtain an (a+2)-approximation algorithm for the Uber problem. Motivated by the fact that demands are usually highly correlated with the time we study the stochastic Uber problem. Furthermore, we extend our results to the correlated setting where the probability of a request arriving at a certain point depends not only on the time step but also on the previously arrived requests.

研究の動機と目的

• リクエストが時間依存の既知の確率分布から抽出される確率的kサーバー問題に対する近似的に最適なオンラインアルゴリズムの設計。
• 非適応的オンラインアルゴリズムのクラスを特定し、最適オンラインアルゴリズムに対する性能バインディングを確立する。
• 任意のメトリクス空間において、このクラス内での最適アルゴリズムを求めるための整数計画法の定式化。
• 各リクエストが出発地と到着地を持つ確率的Uber問題へのフレームワークの拡張、および時間経過に伴う相関リクエスト分布の分析。

提案手法

• 確率的kサーバー問題における非適応的オンラインアルゴリズムの構造的特徴付けを導入する。
• 一般メトリクスにおいて、最良の非適応的アルゴリズムが最適オンラインアルゴリズムのコストの3倍以内に抑えられることを証明する。
• 任意の与えられたメトリクス空間に対して最適非適応的アルゴリズムを計算するための整数計画法を定式化する。
• 確率的kサーバー問題に対するラウンドリングベースのオンラインアルゴリズムを設計し、直線および円形メトリクスでは3-近似、一般メトリクスではサイズnに対してO(log n)近似を達成する。
• Uber問題をkサーバー問題の2点リクエスト版として定義し、kサーバー問題のa-近似解からUber問題の(a+2)-近似解が得られることを示す。
• リクエスト確率が時間と過去のリクエストの両方に依存する相関リクエスト分布へとモデルを拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般メトリクスにおいて、確率的kサーバー問題における最良の非適応的オンラインアルゴリズムの性能保証は何か？
• RQ2 任意のメトリクス空間において、最適非適応的アルゴリズムを求めるための整数計画法を定式化できるか？
• RQ3 ラウンドングベースのオンラインアルゴリズムが、一般、直線、円形メトリクスにおける確率的kサーバー問題で達成可能な近似要因は何か？
• RQ4 kサーバー問題からUber問題への近似比はどのように拡張されるか？
• RQ5 確率的Uber問題において、時間的および歴史的相関がリクエスト分布に与える影響は何か？

主な発見

• 最良の非適応的オンラインアルゴリズムは、任意の一般メトリクスにおいて、最適オンラインアルゴリズムのコストの3倍を超えない。
• 任意の与えられたメトリクス空間に対して最適非適応的アルゴリズムを求める整数計画法が提示された。
• ラウンドングベースのオンラインアルゴリズムは、直線および円形メトリクスでは3-近似、一般メトリクス（サイズn）ではO(log n)-近似を達成する。
• kサーバー問題に対してa-近似アルゴリズムが与えられた場合、それに対応するUber問題のための(a+2)-近似アルゴリズムを構築可能である。
• フレームワークは、リクエスト確率が時間と過去のリクエストの両方に依存する相関リクエスト分布に対しても拡張可能である。