[論文レビュー] Stochastic Lagrangian Flows for SDEs with rough coefficients

Guohuan Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 13, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 32被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、非退化拡散および粗い係数を有する多次元SDEに対して、確率的ラグランジュ流（SLF）およびほとんど everywhere 確率的フロー（AESF）の存在および一意性を確立し、DiPerna-Lions理論を確率的設定へと拡張する。このようなフローは弱い可積分性およびソボレフ正則性条件のもとで存在することが証明され、3次元ナビエ＝ストークス方程式の加法的ノイズを伴うレーライ＝ホフ解に対応する一意な確率的フローの存在を示す応用がなされている。

ABSTRACT

We prove the existence and uniqueness of Stochastic Lagrangian Flows and almost everywhere Stochastic Flows for non-degenearted SDEs with rough coefficients. As an application of our main result, we show that there exists a unique Stochastic Flow corresponding to each Leray-Hopf solution of 3D Navier-Stokes equation in the DiPerna-Lions sense.

研究の動機と目的

• 粗い係数を有するSDEに対して、正則ラグランジュフローのDiPerna-Lions理論を確率的設定へと拡張すること。
• 非常に特異なドリフトのもとでマーチングル解フレームワークにおいて弱い一意性が失敗することを示す反例を通じて、その失敗を解明すること。
• 非退化拡散および係数に対する最小限の正則性仮定のもとで、確率的ラグランジュフロー（SLF）およびほとんど everywhere 確率的フロー（AESF）の存在および一意性を確立すること。
• この理論を用いて、加法的ノイズを伴う3次元ナビエ＝ストークス方程式の任意のレーライ＝ホフ解に対応する一意な確率的フローを構成すること。
• 低正則性SDEを、ラジエント＝プロディ＝セリン条件を越えて取り扱うための、フォッカー＝プランク方程式およびデ・ジョルジの反復法に基づく新しい理論枠組みを提供すること。

提案手法

• SDEの適切性を解析するため、$L^∞$-設定におけるフォッカー＝プランク方程式を用いる。
• 解測度の密度に対する事前推定を得るために、デ・ジョルジの反復法を適用する。
• ドリフト $b$ および拡散 $σ$ に弱い可積分性条件を課し、$b, (\operatorname{div} b)^- \in L^q_t L^p_x$ かつ $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2$ を満たすものとし、非退化拡散を仮定する。
• マーチングル条件および密度の有界性を満たす確率測度族 $\{\mathbb{P}_x\}_{x \in \mathbb{R}^d}$ として、確率的ラグランジュフロー（SLF）の概念を導入する。
• 初期条件に関してほとんど everywhere で強い解となるような確率的場 $X: [0,T] \times \mathbb{R}^d \times \Omega \to \mathbb{R}^d$ を構成することで、ほぼ everywhere 確率的フロー（AESF）の存在を確立する。
• ギルサノフ変換および経路ごとの一意性の議論を用いて、フォッカー＝プランク方程式とSDEを結びつけ、フローの存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非退化拡散および粗い係数を有するSDEに対して、確率的ラグランジュフローが存在する条件は何か？
• RQ2 係数が $b, (\operatorname{div} b)^- \in L^q_t L^p_x$ かつ $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2$ を満たす場合、非退化性のもとでも弱い一意性が失敗することがあるだろうか？
• RQ3 SDEが古典的な弱解または強解の意味で適切でない場合、一意なほぼ everywhere 確率的フローを構成することは可能か？
• RQ4 SLFおよびAESFの理論を用いて、3次元ナビエ＝ストークス方程式の解に対する確率的フローを構成することは可能か？
• RQ5 デ・ジョルジの反復法およびフォッカー＝プランク方程式の解析は、低正則性のもとでの確率的フローの存在および一意性を証明するためにどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は、非退化拡散および $b, (\operatorname{div} b)^- \in L^q_t L^p_x$ かつ $\frac{d}{p} + \frac{2}{q} < 2$ を満たす係数を有するSDEに対して、確率的ラグランジュフロー（SLF）の存在および一意性を証明し、DiPerna-Lions理論を確率的設定へと拡張している。
• 上記の可積分性条件のもとで弱い一意性が失敗する可能性があることを示す反例が構成され、このような特異なドリフトに対しては古典的なマーチングル問題フレームワークが不適切であることが示された。
• 係数 $b$ および $\sigma$ に追加のソボレフ正則性仮定を課すことにより、ほぼ everywhere 確率的フロー（AESF）の存在および一意性が確立され、初期条件に関してほとんど everywhere で強い解が得られることが保証される。
• 任意の加法的ノイズを伴う3次元ナビエ＝ストークス方程式のレーライ＝ホフ解 $b$ に対して、一意な確率的フローが存在し、解の確率的表現が得られる。
• 証明は、解測度の密度を制御するためのデ・ジョルジの反復法に依拠しており、有界領域からの脱出確率が正であることを示すために、停止時刻の列を用いたストップ・タイムの議論が用いられ、爆発の回避および再帰性が保証される。