[論文レビュー] Stochastic Line-Motion and Stochastic Conservation Laws for Non-Ideal Hydromagnetic Models. I. Incompressible Fluids and Isotropic Transport Coefficients

Gregory L. Eyink|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2008

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 48被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、プラズマの速度場に確率的摂動を導入することで、非理想な非圧縮性磁気流体力学（MHD）モデルに対する確率的保存則を確立する。磁気フラックスが固定された表面を通る量が、確率的速度場に従って時間反転方向に運ばれる表面を通るフラックスの集合平均に等しいことを証明し、粘性および抵抗性プラズマへのアルヴェーンのフラックス固定定理の一般化を達成する。また、磁気プラントル数が1のときのホールMHDおよび二流体モデルに対しても同等の結果が得られる。

ABSTRACT

We prove that smooth solutions of non-ideal (viscous and resistive) incompressible magnetohydrodynamic equations satisfy a stochastic law of flux conservation. This property involves an ensemble of surfaces obtained from a given, fixed surface by advecting it backward in time under the plasma velocity perturbed with a random white-noise. It is shown that the magnetic flux through the fixed surface is equal to the average of the magnetic fluxes through the ensemble of surfaces at earlier times. This result is an analogue of the well-known Alfven theorem of ideal MHD and is valid for any value of the magnetic Prandtl number. A second stochastic conservation law is shown to hold at unit Prandtl number, a random version of the generalized Kelvin theorem derived by Bekenstein-Oron for ideal MHD. These stochastic conservation laws are not only shown to be consequences of the non-ideal MHD equations, but are proved in fact to be equivalent to those equations. We derive similar results for two more refined hydromagnetic models, Hall magnetohydrodynamics and the two-fluid plasma model, still assuming incompressible velocities and isotropic transport coefficients. Finally, we use these results to discuss briefly the infinite-Reynolds-number limit of hydromagnetic turbulence and to support the conjecture that flux-conservation remains stochastic in that limit.

研究の動機と目的

• 非理想的で粘性および抵抗性を有する非圧縮性MHDモデルへの古典的アルヴェーン定理の拡張を、速度場に確率性を導入することによって達成すること。
• 粘性および抵抗性が非ゼロであっても、確率的ラグランジュ粒子軌道の下で、磁気フラックス保存が集合平均の意味で成立することを確立すること。
• これらの確率的保存則が、単なる結果ではなく、非理想MHD方程式と数学的に同等であることを示し、その根本的役割を保証すること。
• 非圧縮性および等方的輸送係数の仮定の下で、ホールMHDおよび二流体プラズマモデルといったより精密なモデルへも結果を一般化すること。
• ハイドロマグネティック乱流の無限レイノルズ数極限においても、フラックス保存が確率的性質を保ち続けるという仮説を支持すること。これは、具体的な散逸メカニズムに依存しない。

提案手法

• 粘性および抵抗性に比例する振幅のガウス白色ノイズを速度場に摂動として導入し、流体粒子軌道の確率的微分方程式を定式化する。
• 固定された表面を確率的速度場に従って時間反転方向に運ぶことによって、ランダムな表面の集合を定義する。
• ハミルトニアン構造から導かれる非圧縮性MHD方程式のウェーバー形式を用い、フラックスおよび循環保存の確率的類似物を導出する。
• 元の固定された表面を通る磁気フラックスが、過去の時刻における確率的に運ばれた表面を通るフラックスの期待値に等しいことを証明する。
• 非理想MHD方程式と導出された確率的保存則との間の同等性を確立し、それらが単なる結果ではなく、解の特徴付けであることを示す。
• 非圧縮性流れおよび等方的輸送係数の下で、同じ確率的ラグランジュ的アプローチをホールMHDおよび二流体モデルへ適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非理想的で粘性および抵抗性を有するMHDモデルに対し、理想MHDにおける古典的アルヴェーンのフラックス固定定理を一般化できるか？
• RQ2 プラズマの速度場にホワイトノイズによる摂動が加わった場合、磁気フラックス保存が確率的で集合平均の意味で成立するか？
• RQ3 得られた確率的保存則が、単なる必要条件ではなく、非理想MHD方程式と数学的に同等であるか？
• RQ4 ホールMHDや二流体プラズマモデルといったより精密なモデルに対しても、同様の確率的保存則を導出できるか？
• RQ5 ハイドロマグネティック乱流の無限レイノルズ数極限において、フラックス保存の確率的性質が、具体的な散逸メカニズムに依存せずに維持されるか？

主な発見

• 非理想非圧縮性MHDの滑らかな解は、確率的フラックス保存則を満たす：固定された表面を通る磁気フラックスは、ホワイトノイズを伴う確率的速度場に従って時間反転方向に運ばれる表面を通るフラックスの集合平均に等しい。
• この確率的アルヴェーン定理は、磁気プラントル数の任意の値に対して成立し、粘性および抵抗性が非ゼロであってもフラックス保存が有効であることを示している。
• 磁気プラントル数が1のとき、ベーケンシュタイン＝オリョンの一般化されたケルビン定理に類似した第二の確率的保存則が証明され、平均的な循環保存が成立することが示された。
• 確率的保存則は、非理想MHD方程式の単なる結果ではなく、数学的にそれらと同等であるため、解を完全に特徴づける。
• 非圧縮性流れおよび等方的輸送係数の下で、ホールMHDおよび二流体モデルに対しても結果が拡張され、確率的フレームワークの頑健性が確認された。
• これらの発見は、無限レイノルズ数極限におけるハイドロマグネティック乱流においても、フラックス保存が確率的性質を保ち続けるという仮説を支持している。これは、ノイズ振幅が消える中でも、粗い速度場においても確率的粒子軌道が存続するためである。