[論文レビュー] Stochastic Maximum Principle for a PDEs with noise and control on the boundary

Giuseppina Guatteri|arXiv (Cornell University)|Jul 19, 2008

Stochastic processes and financial applications参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、境界にノイズと制御が作用する確率的偏微分方程式（SPDE）に対して、第二階近似を避けるために随伴方程式の正則性を活用する革新的なアプローチにより、確率的最適化の最大原理を確立する。主な貢献は、非凸な制御空間を有する境界制御SPDEに対して、分数乗正則性仮定および収束速度 $
varepsilon^{\alpha}$（$
frac{1}{2} < \alpha < 1$）の下で有効な必要最適性条件を導出することにある。フレームワークは、重み付き$L^2$空間とリゾルベント理論から導かれる非有界作用素を用いて、ノイマンおよびディリクレ境界条件の両方に適用可能である。

ABSTRACT

In this paper we prove necessary conditions for optimality of a stochastic control problem for a class of stochastic partial differential equations that is controlled through the boundary. This kind of problems can be interpreted as a stochastic control problem for an evolution system in an Hilbert space. The regularity of the solution of the adjoint equation, that is a backward stochastic equation in infinite dimension, plays a crucial role in the formulation of the maximum principle.

研究の動機と目的

• ノイズと制御が空間に広がるのではなく境界に局在するSPDEに対して、確率的最適化の最大原理を構築すること。これは、広がったノイズと制御の設定よりもあまり研究が進んでいない分野である。
• 通常は第二階展開を必要とする非凸な制御空間の課題に対処するため、収束速度$\varepsilon^{\alpha}$を有する第一階最適性条件を証明すること。
• 境界制御から生じる非有界作用素の形式的随伴の定義域に属する正則性を保証する随伴方程式の正則性を確立することで、最大原理の定式化を可能にする。
• 重み付き$L^2$空間の枠組みを導入することで、ディリクレ境界条件を有するSPDEへの最大原理の拡張を実現する。
• 理論的枠組みの適用可能性を示すために、具体的な2つの例（ノイマンおよびディリクレ境界制御問題）を提示する。

提案手法

• ヒルバート空間$H = L^2(0,1)$または$L^2(0,\infty; (\rho^{\theta+1} \wedge 1)\,d\rho)$における無限次元確率的発展方程式としてSPDEを定式化し、適切な境界条件を満たすラプラシアンの生成作用素$A$を用いる。
• 境界制御およびノイズ項を表すために、非有界作用素$(\lambda - A)D$および$(\lambda - A)D_1$を導入する。ここで$D$および$D_1$は、制御およびウィener過程を$\lambda - A$の分数乗の定義域へ写像することで、弱解の存在を保証する。
• リゾルベント理論とノイマンまたはディリクレ固有値問題の解$d^i(x)$の存在を用いて、境界作用素$D$および$D_1$を定義し、非有界項に必要な正則性を保証する。
• 随伴方程式をヒルバート空間$H$における無限次元の後向き確率微分方程式として導出し、その解が$[(\lambda - A)D]^*$の定義域に値をとることを証明する。これは最大原理の成立に不可欠である。
• コスト関数の第一階変動を分析することで最大原理を確立し、$\alpha > \frac{1}{2}$の下で$\varepsilon^{\alpha}$の近似精度を達成するが、第二階項を避ける。
• 2つの例（有界領域におけるノイマン境界条件、無限領域におけるディリクレ境界条件）において、最大原理の条件を検証する。重み付き$L^2$空間を用いて作用素の正則性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ノイズと制御が空間に広がらずに境界に局在するSPDEに対して、確率的最大原理を定式化することは可能か？
• RQ2 制御空間が非凸な場合、通常は第二階展開を必要とするが、どのようにして最大原理を確立できるか？
• RQ3 非有界境界作用素を伴う状況下で、最大原理の有効性を保証するための随伴方程式の正則性条件は何か？
• RQ4 標準的な$L^2$空間が所望の作用素正則性を満たさない場合、境界ノイズおよび制御をヒルバート空間枠組みにどのように埋め込むことができるか？
• RQ5 半群理論および発展方程式の定式化において困難を伴うとされるディリクレ境界条件へ、この枠組みをどの程度まで拡張できるか？

主な発見

• 本稿は、非凸な制御空間を有する境界制御SPDEに対し、$\varepsilon^{\alpha}$収束速度（$\frac{1}{2} < \alpha < 1$）を有する第一階最適性条件を証明することで、境界ノイズおよび制御を伴うSPDEの確率的最大原理を確立した。
• 随伴方程式の解が$[(\lambda - A)D]^*$の定義域に値をとることを示し、これはハミルトニアンの定式化および最大原理の有効性を保証する上で不可欠である。
• 区間$[0,1]$におけるノイマン境界条件では、固有値問題を解く$d^i \in H^{2\alpha}(0,1)$の存在が、境界作用素の必要な正則性を保証する。
• 区間$[0,\infty)$におけるディリクレ条件では、重み付き$L^2$空間$L^2(0,\infty; (\rho^{\theta+1} \wedge 1)\,d\rho)$の使用により、ディリクレ写像が$D((\lambda - A)^\alpha)$（$\alpha > \frac{1}{2}$）に値をとることを可能にし、発展方程式の定式化を可能にする。
• 両例においてコスト関数は適切に定義されており、必要な滑らかさおよび成長条件を満たしている。$l$および$h$は有界または部分線形に成長する微分を有する。
• 理論的結果は、2つの具体的な例を通じて検証された。1つ目は空間時空白色ノイズを伴うノイマン境界制御問題、2つ目は境界ウィener過程を伴うディリクレ境界制御問題であり、いずれの例でも主定理の仮定が満たされていることが示された。