[論文レビュー] (Stochastic) Model Predictive Control -- a Simulation Example

Tim Brüdigam|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2021

Advanced Control Systems Optimization被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、ガウス分布の不確実性を伴う線形系に対する確率的モデル予測制御（SMPC）のシミュレーションベースの導入を提示する。ハードな状態制約を、誤差共分散と逆誤差関数を用いた確率的タイトニングにより、確率的制約に再定式化する。この手法により、事前に定めた確率レベルβで制約を満たすことが保証され、MATLABを用いた具体例を通じて明示的な導出とコードの提供が行われる。

ABSTRACT

This brief introduction to Model Predictive Control specifically addresses stochastic Model Predictive Control, where probabilistic constraints are considered. A simple linear system subject to uncertainty serves as an example. The Matlab code for this stochastic Model Predictive Control example is available online.

研究の動機と目的

• 所定の確率レベルで状態制約を満たす一方で、確率的摂動を伴う線形系を制御する課題に対処すること。
• シミュレーション環境における確率的モデル予測制御（SMPC）の実装フレームワークを実用的に導入すること。
• 正規分布および一般の分布に対して、誤差共分散と確率的境界に基づく制約タイトニングの導出と実装を提供すること。
• MATLABコードを用いた具体的な例を通じて、制約違反リスクと制御性能のトレードオフを示すこと。
• 予測ベースのSMPCにおける不確実性共分散（Σw）と誤差共分散（Σe_k）の違いを明確にすること。

提案手法

• 線形システムモデル xk+1 = Axk + Buk を用いて、状態および入力制約を含む決定的MPC問題を定式化する。
• ゼロ平均のガウス過程ノイズ wk ∼ N(0, Σw) をシステムダイナミクスに導入し、xk+1 = Axk + Buk + Dwk となるように変更する。
• ハードな状態制約 x1,k ≤ 2.8 を、逆誤差関数を用いた確率的制約 Pr(x1,k ≤ 2.8) ≥ β に再定式化する：γk = √(2[1,0]ᵀΣe_k[1,0]) ⋅ erf⁻¹(2β − 1)。
• 状態を決定論的および確率的成分に分解する：xk = zk + ek、入力を uk = −Kxk + vk として再パrameter化し、フィードバック制御と不確実性処理を分離する。
• 誤差共分散行列を再帰的に伝搬する：Σe_k+1 = (A − BK)Σe_k(A − BK)ᵀ + DΣwDᵀ、初期値 Σe_0 = diag(0,0) から開始する。
• 元の制約 x1,k ≤ 2.8 を、γk に依存する x1,k ≤ 2.8 − γk に置き換えることで制約タイトニングを適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 確率的摂動が存在する中で、ハードな状態制約をどのように確率的違反を許容する形に再定式化できるか？
• RQ2 ガウス分布の不確実性下で、リスクパrameter β と必要な制約タイトニング γk の間の解析的関係は何か？
• RQ3 SMPCにおける誤差共分散 Σe_k は予測ステップに伴いどのように変化するか？また、それは制約タイトニングにどのように影響するか？
• RQ4 正規分布と一般の確率分布を用いたSMPCの間で、保守的さの観点から性能にどのような差が生じるか？
• RQ5 リスクパrameter β の選択が、制約違反確率と制御効力のトレードオフにどのように影響するか？

主な発見

• 確率的制約 Pr(x1,k ≤ 2.8) ≥ β は、x1,k ≤ 2.8 − γk に再定式化され、γk = √(2[1,0]ᵀΣe_k[1,0]) ⋅ erf⁻¹(2β − 1) となる。これにより、実装可能なSMPCが可能になる。
• 正規分布の不確実性に対しては、逆誤差関数を用いた制約タイトニング γk が導出され、ガウス分布の仮定下で正確な再定式化が可能となる。
• 一般の確率分布に対しては、カントンゼリの不等式を用いて近似され、γk = σ ⋅ √(β / (1 − β)) が得られる。これはガウス分布の場合よりも保守的である。
• タイトニングパラメータ γk は予測ホライズンに伴い増加し、時間経過による不確実性の蓄積を反映しており、各予測ステップで計算する必要がある。
• 誤差共分散行列 Σe_k は再帰的に伝搬され、閉ループダイナミクス（A − BK）とプロセスノイズ共分散 Σw に依存するが、初期状態には依存しない。
• シミュレーション例により、確率的制約を伴うSMPCが、確率的摂動下でも確率βで制約を満たすことが確認され、過度に保守的な制御行動を避けることができる。