[論文レビュー] Stochastic Modeling of an Infectious Disease, Part I: Understand the Negative Binomial Distribution and Predict an Epidemic More Reliably

Hisashi Kobayashi|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2020

COVID-19 epidemiological studies参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、感染症の拡散をよりよく予測するため、移民を伴う確率的出生・死滅過程（BDI）モデルを提案している。実際の流行（例：COVID-19）で観察される重たい尾を持つ、極めて変動の大きい感染パターンを、パラメータ r < 1 の負の二項分布（NBD）が捉えられることを示している。主な貢献は、決定論的SIRモデルが変動を低く見積もるために失敗することを示したことである。NBDの変動係数は r⁻¹ > 1 を超えるため、中央値と平均の予測が信頼できなくなる。

ABSTRACT

Why are the epidemic patterns of COVID-19 so different among different cities or countries which are similar in their populations, medical infrastructures, and people's behavior? Why are forecasts or predictions made by so-called experts often grossly wrong, concerning the numbers of people who get infected or die? The purpose of this study is to better understand the stochastic nature of an epidemic disease, and answer the above questions. Much of the work on infectious diseases has been based on "SIR deterministic models," (Kermack and McKendrick:1927.) We will explore stochastic models that can capture the essence of the seemingly erratic behavior of an infectious disease. A stochastic model, in its formulation, takes into account the random nature of an infectious disease. The stochastic model we study here is based on the "birth-and-death process with immigration" (BDI for short), which was proposed in the study of population growth or extinction of some biological species. The BDI process model ,however, has not been investigated by the epidemiology community. The BDI process is one of a few birth-and-death processes, which we can solve analytically. Its time-dependent probability distribution function is a "negative binomial distribution" with its parameter $r$ less than $1$. The "coefficient of variation" of the process is larger than $\sqrt{1/r} &gt; 1$. Furthermore, it has a long tail like the zeta distribution. These properties explain why infection patterns exhibit enormously large variations. The number of infected predicted by a deterministic model is much greater than the median of the distribution. This explains why any forecast based on a deterministic model will fail more often than not.

研究の動機と目的

• 決定論的SIRモデルが、現実のデータにおける高い変動性を捉えられていないという限界を是正すること。特に、実世界のデータにおける高い変動性を捉えられていないこと。
• 同じ人口規模や行動様式を持つ都市や国でも、流行パターンが顕著に異なる理由を調査すること。
• 内在的なランダムネスを考慮することで、決定論的モデルよりも信頼性の高い予測が得られる、BDIプロセスに基づく確率的モデルの有効性を示すこと。
• BDIプロセスの解析的可解性を確立し、時間に依存する確率分布がパラメータ r < 1 の一般化された負の二項分布（NBD）に従うことを示すこと。
• NBDの性質（長めの尾、高い変動係数など）を用いて、感染数の極端な変動の統計的起源を説明すること。

提案手法

• 感染と回復を時間変動するレートを持つ確率的イベントとしてモデル化する、移民を伴う出生・死滅過程（BDI）に基づく確率的モデルを構築する。
• 偏微分方程式（PDE）を用いたアプローチにより、感染者数 I(t) の確率生成関数（PGF）を導出。特性曲線法を用いて解く。
• I(t) の時間に依存する分布が一般化された負の二項分布（NBD）に従うことを示し、PGFが2つの成分の積として表現されることを示す。1つはBDIプロセス、もう1つは移民なしの出生・死滅プロセスに対応する。
• BDIプロセスの定常状態および一時的挙動を分析し、特に I(0) = 0 の場合に閉形式のPGFを導出する。
• PGFを用いてモーメント（平均、分散）を計算し、変動係数（CV）を導出。r < 1 の場合に CV > r⁻¹ > 1 であることを示す。
• r が小さいNBDは、Zipfの法則に類似した長い尾を持つ分布を示し、決定論的モデルが見逃す極端な感染数の出現を説明できる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 COVID-19のような疾患の流行パターンが、地理的にも行動的にも類似した地域間で、なぜこれほど大きく異なるのか？
• RQ2 決定論的SIRモデルの予測が、極端な結果の面で観察値と一致しないのはなぜか？
• RQ3 BDIプロセスに基づく確率的モデルは、決定論的モデルよりも、現実の流行データの重たい尾と高い変動性をよりよく捉えられるか？
• RQ4 移民を伴う確率的流行モデルにおける感染者数の時間に依存する確率分布の解析的形は何か？
• RQ5 r < 1 の負の二項分布の変動係数は、流行予測の信頼性にどのように関係するか？

主な発見

• BDIモデルにおける感染者数 I(t) の時間に依存する分布は、一般化された負の二項分布（NBD）に従い、任意の初期条件に対して閉形式のPGFが得られる。
• I(0) = 0 の場合、PGFは G(z,t) = [a / (λe^{at} - μ - λ(e^{at} - 1)z)]^r に簡略化され、ここで a = λ - μ である。これは解析的に取り扱える解を提供する。
• r < 1 のNBDの変動係数（CV）は r⁻¹ > 1 を超えるため、分布は高い変動性を示しており、実際の流行で観察される大きな逸脱を説明できる。
• r が小さいNBDは、ゼータ分布（Zipfの法則）に類似した長い尾を持つため、決定論的モデルが見逃す極端な感染数の出現を説明できる。
• 決定論的モデルが予測する平均値は、真の確率的分布の中央値から大きく離れているため、決定論的予測は系統的に信頼できない。
• 移民を伴う出生・死滅過程の中で、解析的解が得られるのはBDIプロセスが極めてまれな例であり、これは確率的流行ダイナミクスをモデル化する強力なツールである。