[論文レビュー] Stochastic Navier-Stokes equations for compressible fluids

Dominic Breit, Martina Hofmanová|arXiv (Cornell University)|Sep 9, 2014

Navier-Stokes equation solutions参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、密度および運動量に依存する乗法的ノイズによって駆動される3次元の可 compressible 等エントロピー流体の確率的ナビエ＝ストークス方程式に対して、有限エネルギーの弱マルティングール解の存在を確立する。証明は4段階の近似スキームと洗練された確率的コンパクトネス法を用い、アディアバティック指数に対して $\gamma > 3/2$ の条件下で存在を示している。

ABSTRACT

We study the Navier-Stokes equations governing the motion of isentropic compressible fluid in three dimensions driven by a multiplicative stochastic forcing. In particular, we consider a stochastic perturbation of the system as a function of momentum and density, which is affine linear in momentum and satisfies suitable growth assumptions with respect to density, and establish existence of the so-called finite energy weak martingale solution under the condition that the adiabatic constant satisfies $γ>3/2$. The proof is based on a four layer approximation scheme together with a refined stochastic compactness method and a careful identification of the limit procedure.

研究の動機と目的

• 3次元における可 compressible 等エントロピー流体を記述する確率的ナビエ＝ストークス系に対する弱マルティングール解の存在を確立すること。
• 特別な場合である $\varrho\,\mathrm{d}W$ を超える一般の乗法的ノイズに対する、確率的可 compressible 流体モデルにおける結果の欠如に取り組むこと。
• 解がエネルギー不等式を満たし、逐次的可測性を有することを保証し、従来のパスごとの解法の制限を克服すること。
• 非線形SPDEにおける流体力学の分野において、確率的コンパクトネスおよび近似技法を用いた強固な解析的枠組みを構築すること。
• $\gamma > 3/2$ の下で、決定論的解の存在理論を、乗法的ノイズを伴う確率的設定へと拡張すること。

提案手法

• 4段階の近似スキームが用いられる：密度の打ち切り、圧力の局所化、速度におけるガラーキン近似、ノイズの正則化。
• 解は空間的・時空的（分布的）および確率的（マルティングール）な両フレームワークにおいて弱い意味で構成される。
• 収束する部分列を近似から抽出するために、適切な関数空間におけるtightnessおよび相対的コンパクトネスを活用して、確率的コンパクトネス法が適用される。
• 極限解はエネルギー不等式を満たし、時間経過に伴う全エネルギーの制御および物理的整合性を保証する。
• 非線形項、特に圧力 $p(\varrho) = a\varrho^\gamma$ を含む項において、極限への渡りを確実にするために洗練された同定手続きが用いられる。
• 証明は、事前推定および凸性の議論に依存しており、特に $z \mapsto z\ln z$ の凸性による $\tilde{\varrho}_\delta$ の強い収束が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の乗法的ノイズ（密度および運動量に依存）を伴う確率的可 compressible ナビエ＝ストークス方程式に対して、有限エネルギーの弱マルティングール解が存在するか？
• RQ2 解はエネルギー不等式を満たし、逐次的可測性を有するように構成可能であり、パスごとの解法の制限を回避できるか？
• RQ3 3次元において、アディアバティック指数に対して $\gamma > 3/2$ の条件下で、この存在結果は有効か？
• RQ4 非線形SPDEにおける可 compressible 流体力学において、確率的コンパクトネスおよび近似技法をどのように適合させることができるか？
• RQ5 洗練された極限同定手続きは、確率的設定における非線形項の収束を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、$\gamma > 3/2$ の条件下で、確率的可 compressible ナビエ＝ストークス系に対して有限エネルギーの弱マルティングール解の存在を確立する。
• 解はエネルギー不等式を満たし、初期エネルギーに対して全エネルギーの時間発展を制御する。
• 近似列の収束は、確率的コンパクトネスおよび洗練された極限同定プロセスを介して確立され、特に $z\ln z$ の凸性による密度の強い収束が含まれる。
• 本手法は、従来のパスごとの解法に依存し、逐次的可測性やエネルギー不等式を保証できないという制限を克服する。
• 結果は、$\varPhi(\varrho, \varrho{\bf u})\,\mathrm{d}W$ の形をした一般の乗法的ノイズ、密度および運動量に非線形に依存する場合を含む。
• 解析は3次元トーラス $\mathbb{T}^3$ に対して有効であり、ノイズ係数における独立な円形ウィーナー過程を許容する枠組みを備えている。