[論文レビュー] Stochastic Near-Optimal Controls for Path-Dependent Systems

Dorival Leão, Alberto Ohashi+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、ブラウン運動によって駆動される確率的制御問題における近似最適制御を構築するパスワイズな手法を開発する。特に、非マルコフ型および非セミマルティンググレ過程のシステムに適応する。弱微分構造と可測選択を活用することで、楕円性や関数的微分可能性の仮定を必要とせず、近似最適制御を特徴づける。この枠組みは、経路に依存するSDEおよびファイナンス分野における非マルコフ型ポートフォリオ最適化問題に応用される。

ABSTRACT

In this article, we present a general methodology for control problems driven by the Brownian motion filtration including non-Markovian and non-semimartingale state processes controlled by mutually singular measures. The main result of this paper is the development of a concrete pathwise method for characterizing and computing near-optimal controls for abstract controlled Wiener functionals. The theory does not require ad hoc functional differentiability assumptions on the value process and elipticity conditions on the diffusion components. The analysis is pathwise over suitable finite dimensional spaces and it is based on the weak differential structure introduced by Leão, Ohashi and Simas jointly with measurable selection arguments. The theory is applied to stochastic control problems based on path-dependent SDEs where both drift and possibly degenerated diffusion components are controlled. Optimal control of drifts for path-dependent SDEs driven by fractional Brownian motion is also discussed. We finally provide an application in the context of financial mathematics. Namely, we construct near-optimal controls in a non-Markovian portfolio optimization problem.

研究の動機と目的

• 非マルコフ型および非セミマルティンググレ過程のシステムに対する、体系的でパスワイズな確率的最適制御の手法を開発すること。
• 正確な最適制御が存在しないか、数値的に不安定な場合に備えて、最小限の正則性条件のもとで近似最適制御を構築すること。
• 制御されたドリフトと、退化する拡散成分を有する経路に依存するSDEへの制御理論の拡張。
• 分数 Browmian 動作および非マルコフ型ファイナンスモデルに適用可能な枠組みを提供すること。
• 適切な微分可能性の仮定を追加せずに、抽象的な制御付きウィーナー関数への近似最適制御の構成的手法を確立すること。

提案手法

• Leão, Ohashi, Simas が導入した弱微分構造を用いて、有限次元空間におけるパスワイズな変動を分析する。
• パrameter空間における点ごとの最大化から制御方策を構成するため、可測選択の議論を用いる。
• 有限時間近似と時刻ステージごとの再帰的後退帰納法に基づく離散化スキームを適用する。
• HJB方程式や偏微分方程式に依存しない、適応的制御上の本質的上界として定義される価値過程に依存する。
• 各時刻ステージで一連の最大化問題を解くことで近似最適制御を構築し、誤差を任意の $ \varepsilon > 0 $ で抑えられる。
• 双曲余弦関数および誤差関数を含む積分の切断収束を用いて、近似誤差の指数的減衰を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 価値過程が関数的微分可能である必要がない条件下で、経路に依存するSDEに対する近似最適制御を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 拡散成分に楕円性や非退化性の条件を必要としないパスワイズな手法を開発できるか？
• RQ3 近似最適制御が存在し、明示的に計算可能となる最小限の仮定の集合は何か？
• RQ4 分数 Browmian 動作によって駆動される非マルコフ型システムへの理論の拡張は可能か？
• RQ5 経路に依存する利回り構造を持つ非マルコフ型ファイナンスモデルにおいて、近似最適ポートフォリオを構築するための枠組みを適用できるか？

主な発見

• 本稿は、任意の $ \theta > 0 $ に対して、期待利回りが上界を $ \theta $ 以内で上回る近似最適制御 $ C^{\theta}_{k,\tau} $ を構築する。
• 近似誤差は指数的に減少し、誤差の上限が $ \frac{2}{\theta(2n+1)}e^{-\frac{\theta(2n+1)^2}{4}} $ で与えられ、離散化パラメータ $ n $ に対して高速収束を示す。
• 価値過程が関数的微分可能である必要がなく、拡散成分が非退化である必要もない。
• 制御されたドリフトと退化する拡散成分を有する経路に依存するSDEに対しても、この構成は有効であり、古典的なマルコフ型設定を越える。
• 非マルコフ型ポートフォリオ最適化問題への応用に成功し、ファイナンス数学における実用的意義を示している。
• 列 $ \bar{a}^{k,\tau}_n $ の収束により、十分に大きな $ n $ に対して、近似最適制御が一様に最適値から $ \theta $ 以内に近づくことが保証される。