[論文レビュー] Stochastic Nonlinear Model Predictive Control with Efficient Sample Approximation of Chance Constraints

Stefan Streif, Matthias Karl+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2014

Advanced Control Systems Optimization参考文献 67被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、一般化ポリノミアルクラウド（gPC）を用いた不確実性伝播とサンプリングに基づく近似を用いて、時間不変な不確実性下でのチャンス制約を効率的に取り扱う確率的非線形モデル予測制御（NMPC）フレームワークを提案する。サンプルベースの勾配近似と事前統計的手法による最小制約のタイトニングを導入することで、保守的でなく、計算が効率的で、実時間制御が可能なNMPCを実現し、ロバストまたは決定論的アプローチと比較して、実行可能性が保証され、保守的でない。

ABSTRACT

This paper presents a stochastic model predictive control approach for nonlinear systems subject to time-invariant probabilistic uncertainties in model parameters and initial conditions. The stochastic optimal control problem entails a cost function in terms of expected values and higher moments of the states, and chance constraints that ensure probabilistic constraint satisfaction. The generalized polynomial chaos framework is used to propagate the time-invariant stochastic uncertainties through the nonlinear system dynamics, and to efficiently sample from the probability densities of the states to approximate the satisfaction probability of the chance constraints. To increase computational efficiency by avoiding excessive sampling, a statistical analysis is proposed to systematically determine a-priori the least conservative constraint tightening required at a given sample size to guarantee a desired feasibility probability of the sample-approximated chance constraint optimization problem. In addition, a method is presented for sample-based approximation of the analytic gradients of the chance constraints, which increases the optimization efficiency significantly. The proposed stochastic nonlinear model predictive control approach is applicable to a broad class of nonlinear systems with the sufficient condition that each term is analytic with respect to the states, and separable with respect to the inputs, states and parameters. The closed-loop performance of the proposed approach is evaluated using the Williams-Otto reactor with seven states, and ten uncertain parameters and initial conditions. The results demonstrate the efficiency of the approach for real-time stochastic model predictive control and its capability to systematically account for probabilistic uncertainties in contrast to a nonlinear model predictive control approaches.

研究の動機と目的

• 時間不変な確率的不確実性（パrameterおよび初期条件に起因）を有する非線形システムに対して、計算が効率的な確率的NMPC手法を開発すること。
• 非線形システムにおけるチャンス制約の計算不能性に対処し、制約満たし確率の効率的サンプリングと近似を可能にすること。
• 最悪ケースの境界ではなく、確率的不確実性分布を組み込むことで、ロバストMPCに内在する保守的性質を軽減すること。
• チャンス制約の解析的勾配のサンプルベース近似を用いることで、オンライン最適化の効率を向上させること。
• サンプルサイズに必要な統計的境界を事前に決定し、サンプル近似最適化問題の実行可能性を保証すること。

提案手法

• 一般化ポリノミアルクラウド（gPC）を用いて、非線形ダイナミクスを介した時間不変な確率的不確実性を伝播させ、状態確率密度からの効率的サンプリングを可能にする。
• 不確実性実現のサンプリングと制約満たし確率の評価を用いて、シナリオベースの手法でチャンス制約を近似する。
• 与えられたサンプルサイズにおいて、サンプル近似問題の所定の実行可能性確率を保証するために必要な最小制約タイトニングを決定する統計的分析を導入する。
• 制約関数の根から導かれる適応的統合限界を用いた区分的統合法を採用し、確率推定の精度を向上させる。
• 制約関数の確率積分を制御変数に関して微分することで、解析的勾配のサンプルベース近似を導出する。有限差分近似を避ける。
• 陰関数定理を用いて、最適化変数に依存する統合限界の制御変数に関する偏微分を計算し、統合限界が最適化変数に依存する場合でも勾配計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高次元確率積分の正確な解析的解が得られない状況において、非線形確率的MPCにおけるチャンス制約を、正確な解析的解を必要とせずに、どのように効率的に近似できるか。
• RQ2 所定の実行可能性確率を満たすために必要な最小サンプルサイズは何か。また、そのサンプルサイズは事前にどのように決定できるか。
• RQ3 解析的表現が得られない場合でも、非線形チャンス制約の勾配を、リアルタイム最適化に適した精度と効率でどのように近似できるか。
• RQ4 提案手法は、決定論的ロバストMPCと比較して、どの程度保守的性質を軽減できるか。計算の実行可能性は維持されるか。
• RQ5 本手法は、解析的ダイナミクスと入力・状態・パrameterが分離可能な一般非線形システムに適用可能か。

主な発見

• 本手法により、効率的サンプリングと統計的制約タイトニングを用いることで、計算負荷を著しく低減し、実時間確率的NMPCが可能になる。
• 事前に決定された制約タイトニングにより、サンプル近似問題が所定の実行可能性確率を満たすことが保証され、保守的でない。
• サンプルベースの勾配近似は、特にサンプル数が限られる状況でも、有限差分法と比較して最適化の効率と精度を向上させる。
• システムのダイナミクスが解析的かつ入力・状態・パrameterが分離可能な限り、広範な非線形システムクラスに適用可能である。
• 7つの状態変数と10の不確実パラメータを有するWilliams-Otto反応器のケーススタディにおいて、不確実性下でも制約の満たしを維持し、ロバスト性と性能の点で決定論的NMPCを上回った。
• gPCとシナリオベース最適化の統合により、非ガウス分布を示す状態分布に対しても、非線形ダイナミクスを介した不確実性分布の正確な伝播が可能になる。