[論文レビュー] Stochastic nonlinear Schrödinger equations

Viorel Barbu, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 3被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ラプラシアンの大きな摂動に対してストリカルツ推移性を用い、スケーリング手法を用いて、エネルギー空間 $H^1(\mathbb{R}^d)$ における確率的非線形シュレーディンガー方程式のグローバルな適切性を、収束型および発散型の非線形性について確立する。初期データに対するパスごとの連続的依存性を証明し、$d \geq 6$ の場合に、以前の研究におけるギャップを解消し、決定論的ケースと同一の臨界指数範囲を達成する。結果はエネルギー臨界ケースにまで拡張され、今後の研究における爆発現象へのノイズ効果の分析の基盤を提供する。

ABSTRACT

This paper is devoted to the well-posedness of stochastic nonlinear Schrödinger equations in the energy space H1(Rd), which is a natural continuation of our recent work [1]. We consider both focusing and defocusing nonlinearities and prove global well-posedness in H1(Rd), including also the pathwise continuous dependence on initial conditions, with exponents exactly the same as in the deterministic case. In particular, this work improves earlier results in [4]. Moreover, the local existence, uniqueness and blowup alternative are also established for the energy-critical case. The approach presented here is mainly based on the rescaling approach already used in [1] to study the L2 case and also on the Strichartz estimates established in [12] for large perturbations of the Laplacian.

研究の動機と目的

• 一般の複素ノイズ係数 $\mu_j$ を有するエネルギー空間 $H^1(\mathbb{R}^d)$ における確率的非線形シュレーディンガー方程式のグローバル適切性を確立すること。
• 初期条件に対するパスごとの連続的依存性を含む適切性結果を拡張すること。
• $d \geq 6$ の場合に、以前の研究で $\alpha < 1 + \frac{2}{d-1}$ に制限されていたグローバル存在性を、決定論的ケースと同一の範囲にまで拡大することにより、ギャップを埋めること。
• エネルギー臨界ケース $\alpha = 1 + \frac{4}{d-2}$ および焦点型質量超臨界ケースにおける局所的適切性および爆発代替を確立すること。
• 今後の研究におけるノイズが爆発ダイナミクスに与える影響を分析するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 著者らは、$L^2$-設定で以前に用いられたスケーリング手法を用い、非線形性が制御可能な摂動方程式に問題を還元する。
• [12] で得られた、ラプラシアンの大きな摂動に対するストリカルツ推移性を用い、$H^1$ における解の正則性および可積分性を制御する。
• 解は、$H^{-1}$ における伊藤型積分方程式を満たす $H^1$-値連続適応過程として強い解として定義され、非線形項はほとんど確実に $L^1(0,\tau; H^{-1})$ に属する。
• 証明は、バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディーの不等式および非線形項を制御する修正版のガリャルド-ニレングラート不等式を用いた事前推定に依存する。
• 重要な技術的ステップとして、弱い表現を用いて解の勾配を推定し、時間重み付き $L^q_t L^p_x$ 推移性を適用して低次の項を制御する。
• 停止時刻 $\tau_n$ を用いた切断手続きにより解を局所化し、モーメント推定を得ることで、パスごとの連続性および一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の複素ノイズ係数 $\mu_j$ を有する確率的非線形シュレーディンガー方程式について、$H^1(\mathbb{R}^d)$ におけるグローバル適切性を確立できるか？
• RQ2 特に $d \geq 6$ の場合に、決定論的ケースと同一の臨界指数範囲を有するグローバル存在性を確率的方程式が保持するか？
• RQ3 エネルギー空間における確率的 NLS について、初期データに対するパスごとの連続的依存性を証明できるか？
• RQ4 エネルギー臨界および焦点型質量超臨界ケースにおける局所的適切性および爆発挙動は何か？
• RQ5 特に超臨界領域において、ノイズは焦点型ケースの爆発現象にどのように影響するか？

主な発見

• 収束型および発散型の非線形性について、$H^1(\mathbb{R}^d)$ におけるグローバル適切性が確立され、決定論的ケースと同一の指数範囲を達成する：収束型では $1 < \alpha < 1 + \frac{4}{(d-2)_+}$、発散型では $1 < \alpha < 1 + \frac{4}{d}$。
• $d \geq 6$ の場合、本稿では $\alpha < 1 + \frac{4}{d}$ の全範囲でグローバル存在性を達成し、[4] で示された $\alpha < 1 + \frac{2}{d-1}$ という制限を解消する。
• $H^1(\mathbb{R}^d)$ におけるグローバル解について、初期条件に対するパスごとの連続的依存性が証明され、解写像の正則性が強化される。
• エネルギー臨界ケース $\alpha = 1 + \frac{4}{d-2}$（$d \geq 3$）について、局所的適切性、一意性および爆発代替が確立される。
• 焦点型質量超臨界ケース $1 + \frac{4}{d} \leq \alpha < 1 + \frac{4}{(d-2)_+}$ についての局所理論が構築され、今後のノイズ誘発爆発の分析が可能になる。
• バーグシュタイン＝デイヴィス＝ギュンディーの不等式およびストリカルツ型推移性によるモーメント推定により、停止時刻までに一意な強い解が存在し、パスごとの連続性が保証される。