[論文レビュー] Stochastic nonlinear Schroedinger equations in the defocusing mass and energy critical cases

Deng Zhang|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 22被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、すべての次元 $ d \geq 1 $ および $ 3 \leq d \leq 6 $ において、線形的で乗法的なノイズを伴う確率的非線形シュレーディンガー方程式の、発散的でない質量臨界およびエネルギー臨界な場合について、グローバルな適切性と散乱を確立する。リスケーリング手法と洗練された確率的ストリコフツェ estimate を用いて、ノイズの有界な二次変動のもとで、$ L^2 $、$ H^1 $、および擬似自己相似空間における確率的グローバル存在、一意性、およびリスケーリング散乱を証明する。さらに、ストリコフツェおよび局所滑らかさ空間におけるストルック＝ヴァラダハン型のサポート定理を確立する。

ABSTRACT

We study the stochastic nonlinear Schroedinger equations with linear multiplicative noise, particularly in the defocusing mass-critical and energy-critical cases. For general initial data, we prove the global existence and uniqueness of solutions in both cases. When the quadratic variation of noise is globally bounded, we also obtain the rescaled scattering behavior of solutions in the spaces $L^2$, $H^1$ as well as the pseudo-conformal space. Moreover, the Stroock-Varadhan type theorem for the topological support of solutions are also obtained in the Strichartz and local smoothing spaces.

研究の動機と目的

• 線形的で乗法的なノイズを伴う確率的非線形シュレーディンガー方程式の、発散的でない質量臨界およびエネルギー臨界な設定における、解のグローバル存在および一意性を確立すること。
• ノイズの有界な二次変動のもとで、$ L^2 $、$ H^1 $、および擬似自己相似空間における解のリスケーリング散乱挙動を証明すること。
• ストリコフツェおよび局所滑らかさ空間における解の位相的サポートのためのストルック＝ヴァラダハン型定理を導出すること。
• 従来の非臨界設定で用いられていたリスケーリング手法を臨界設定に拡張し、確率的摂動によって破壊される決定論的保存則の喪失を克服すること。

提案手法

• ヒルベルト空間におけるドス＝デュッサン型手法にインspiredされたリスケーリング変換を採用し、確率的臨界 NLS を取り扱う。
• 臨界空間における非線形項および確率的項を制御するため、洗練された確率的ストリコフツェ推移を用いる。
• ストラトノビッチ型ノイズを扱い、質量またはエネルギーに類似した量を保存するために、伊藤＝ストラトノビッチ補正項 $ \mu = \frac{1}{2}\sum_k |G_k|^2 $ を用いる。
• 時間離散化によるノイズの近似から生じるマルティンゲール項を制御するため、最大不等式およびバーグ＝デイヴィス＝ギュンディ型推移を適用する。
• $ g_k $ における一様連続性および $ L^p $-有界性の議論を用いて、離散近似の収束を確立し、$ n \to \infty $ のとき $ \mathbb{E}[\sup_t |J_n'(t)|^2] \to 0 $ を得る。
• $ G_k $ のsummabilityおよび正則性を活用してコンパクトネスおよび確率的収束を示し、極限における確率積分の収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の初期データを伴う、発散的でない質量臨界な確率的非線形シュレーディンガー方程式に対して、グローバルな適切性を確立できるか？
• RQ2 ノイズの有界な二次変動のもとで、解は $ L^2 $、$ H^1 $、および擬似自己相似空間で散乱挙動を示すか？
• RQ3 ストリコフツェおよび局所滑らかさ空間における解に対して、ストルック＝ヴァラダハン型のサポート定理は成立するか？
• RQ4 リスケーリング法は、確率的臨界設定における対称性および保存則の喪失を克服するためにどのように適応可能か？

主な発見

• すべての次元 $ d \geq 1 $ において、発散的でない質量臨界な確率的 NLS の解のグローバル存在および一意性が証明された。
• ノイズの有界な二次変動のもとで、解は $ L^2 $、$ H^1 $、および擬似自己相似空間でリスケーリング散乱を示す。
• ストリコフツェおよび局所滑らかさ空間における解の位相的サポートのためのストルック＝ヴァラダハン型サポート定理が確立された。
• エネルギーの事前有界性を仮定すれば、$ d > 6 $ のエネルギー臨界な場合においても、条件付きグローバルな適切性が得られた。
• 保存則が成り立たない場合において、解の $ L^2 $-ノルムが連続的な局所マルティンゲールであることが示され、平均ノルム二乗保存が保証された。
• $ L^p $-推移および一様連続性を用いて、確率積分の離散近似の収束が厳密に証明され、$ n \to \infty $ のとき $ \mathbb{E}[\sup_t |J_n'(t)|^2] \to 0 $ が成り立った。