[論文レビュー] Stochastic nonlinear wave dynamics on compact surfaces

Tadahiro Oh, Tristan Robert+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 10, 2019

Advanced Mathematical Physics Problems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、コンpactな2次元リーマン多様体上における確率的および決定論的非線形波動方程式の局所的・大域的適切性を、空間依存および時空依存の正規化を用いて、時空白色ノイズと特異な非線形性に起因する発散を扱うことで確立する。トーラス上での先行研究を一般のコンパクト多様体へ拡張し、ダイナミクス下でのガウス測度の不変性とほとんど確実な大域的存在を証明する。

ABSTRACT

We study the Cauchy problem for the nonlinear wave equations (NLW) with random data and/or stochastic forcing on a two-dimensional compact Riemannian manifold without boundary. (i) We first study the defocusing stochastic damped NLW driven by additive space-time white-noise, and with initial data distributed according to the Gibbs measure. By introducing a suitable space-dependent renormalization, we prove local well-posedness of the renormalized equation. Bourgain's invariant measure argument then allows us to establish almost sure global well-posedness and invariance of the Gibbs measure for the renormalized stochastic damped NLW. (ii) Similarly, we study the random data defocusing NLW (without stochastic forcing), and establish the same results as in the previous setting. (iii) Lastly, we study the stochastic NLW without damping. By introducing a space-time dependent renormalization, we prove its local well-posedness with deterministic initial data in all subcritical spaces. These results extend the corresponding recent results on the two-dimensional torus obtained by (i) Gubinelli-Koch-Oh-Tolomeo (2018), (ii) Oh-Thomann (2017), and (iii) Gubinelli-Koch-Oh (2018), to a general class of compact manifolds. The main ingredient is the Green's function estimate for the Laplace-Beltrami operator in this setting to study regularity properties of stochastic terms appearing in each of the problems.

研究の動機と目的

• 2次元トーラス上での最近の確率的および決定論的非線形波動方程式の結果を、境界のない一般のコンパクト2次元リーマン多様体へ拡張すること。
• 空間依存正規化を用いて、加法的時空白色ノイズとガウス分布初期データを伴う非焦点的確率的減衰非線形波動方程式（SDNLW）の局所的適切性を確立すること。
• ボルヘインの不変測度論法を用いて、正規化されたSDNLWのほとんど確実な大域的適切性および測度不変性を証明すること。
• 同様の適切性および不変性結果を、確率的駆動なしのランダムデータ非焦点的NLWに対しても一般の多様体へ拡張すること。
• 空間時空依存正規化を用いて、減衰なしの確率的NLWの局所的適切性を、臨界でないソボレフ空間内の決定論的初期データに対して確立すること。

提案手法

• 確率的減衰NLWにおける発散を制御するため、空間依存正規化を導入する。
• コンパクト多様体上でのラプラシアン＝ベルトラミー作用素のグリーン関数推定を用いて、確率的項の正則性を分析する。
• ボルゲインの不変測度論法を適用し、正規化されたSDNLWのほとんど確実な大域的存在および測度不変性を証明する。
• コンパクト多様体上での関数計算および半古典的擬微分作用素計算を用いて、ラプラシアン＝ベルトラミー作用素のスペクトル性質を制御する。
• 確率的畳み込みおよび非線形項のための確率的推定を、確率解析およびガウス測度の道具を用いて確立する。
• 周波数截断スキームおよび反復収束議論を用いて、臨界ソボレフ空間内での正則化解の収束を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2次元トーラス上での確率的減衰NLWの適切性およびガウス測度不変性の結果を、一般のコンパクト2次元リーマン多様体へ拡張可能か？
• RQ2 空間依存正規化は、コンパクト多様体上での時空白色ノイズおよび非線形性に起因する特異性をどのように扱えるか？
• RQ3 ラプラシアン＝ベルトラミー作用素のグリーン関数推定は、波動方程式における確率的項の正則性確立にどのように寄与するか？
• RQ4 同様の大域的適切性および測度不変性結果は、確率的駆動なしのランダムデータNLWに対しても、コンパクト多様体上ですでに得られるか？
• RQ5 時空依存正規化は、臨界でないソボレフ空間内での減衰なしの確率的NLWの局所的適切性をどのように可能にするか？

主な発見

• コンパクト2次元多様体上での正規化された確率的減衰非線形波動方程式は、ガウス測度に従う初期データに対して局所的適切性を有する。
• ボルゲインの不変測度論法を用いて、正規化されたSDNLWのほとんど確実な大域的適切性およびガウス測度不変性が確立された。
• 同様の大域的適切性および測度不変性結果は、確率的駆動なしのランダムデータ非焦点的NLWに対しても、コンパクト多様体上ですでに成立する。
• 空間時空依存正規化を用いて、減衰なしの確率的NLWの局所的適切性が、すべての臨界でないソボレフ空間内の決定論的初期データに対して証明された。
• $C([0,T];\tilde{\rho}^{s}(\rho))$における正則化解の収束は、周波数截断設定下での反復推定およびコーシー列議論により確立された。
• 主な技術的革新は、コンパクト多様体上でのラプラシアン＝ベルトラミー作用素のグリーン関数推定にあり、これが確率的項の制御および非線形性内の正則性を可能にする。